多元函数求导经典例题

多函数习题课，学习要求，(1)理解多函数的概念，理解二元函数的几何意义，(2)理解二元函数的界限和连续性的概念，以及有界闭域中连续函数的性质的多变量函数的概念界限和连续，(3)理解偏微分和全微分的概念，求出全微分，理解全微分存在的必要条件，以及， 理解全微分形式的不变性，(4)掌握复合函数的一阶和二阶偏振函数的求法，(5)求隐函数的偏振函数，(6)掌握高阶偏振函数和高阶微分的概念，掌握二阶偏振函数的计算，多阶函数的偏振函数和全微分，偏振函数的应用，(7)正确理解多阶函数的极值的概念， (8)理解双重积分概念，理解双重积分的性质，(9)掌握双重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法，(10 )理解广义的双重积分的概念和计算方法， 多函数积分学，二，主要内容，平面点集与区域，多函数的界限，多函数连续的概念，界限运算，多函数连续函数的性质，多函数概念，全微分的应用，高阶偏导函数，隐函数求导法则，复合函数求导法则，全微分形式的不变性，偏导函数的经济应用多变量函数的极值，全微分概念，偏微分概念， 1 .区域，(1)附近，(3)n维空间，(2)区域，连通的开集被称为区域或开集区域，2 .多变量函数概念，3 .多变量函数的界限，说明： (1)定义中的方式是任意的，(2)二元函数的极限也称为双极限，(3)二元函数的极限算法类似于一元函数，4 .极限的运算，5 .多变量函数的连续性，6 .闭域中的连续函数的性质，有界闭域d中的多变量连续函数在d中必定有最大值和最小值。 (2)最大值和最小值定理，(1)有界性定理有界闭域d上多次连续函数是d上的有界函数，有界闭域d上的多次连续函数在d上取得两个不同的函数值时，至少一次取得d上处于这些值间的任意值混合偏导函数，定义二次和二次以上的偏导函数统称为高次偏导函数，9 .偏微分系数的经济应用：交叉弹性，即，10 .全微分概念，多变量函数可连续传导，微小关系，11 .全微分的应用，主要方面3360近似计算和误差估计， 12 .复合函数求导法则，以上公式中的微分系数被称为全微分系数，13 .全微分形式不变，参数的函数和中间变量的函数中其全微分形式也相同，定义了隐函数的求导公式，14 .隐函数的求导法则，15 .多函数的极值，定义，多函数取极值的条件， 以定义一次偏导函数同时为零的点为多函数的驻点、极值点、注意、驻点、条件极值：参数中有条件极值.三，典型例题，1计算多函数极限、多函数极限的常用方法： (1)利用不等式，利用光圈定理，(2)用极坐标或其他变量进行置换，变换为一维函数的界限，(3)利用可利用的一次函数求界限的方法，(4)利用函数的连续性，(5)如果事先看到界限，则可以用界限定义来证明。 解、解、例2、注意：有时可以利用极坐标求极限，但必须注意定义域中r、的变化。 解(1)、例3、解、解：解：解题提示：在解多变量函数问题时，通过源或其他方法将问题转化成一元问题来解决。 这个多变量问题“一元化”的思想在解决多变量问题时非常重要。 分析思维与练习，解法1-3360，排除了该方法的第一步骤沿坐标轴前进到原点，此情况下，极限为1.2步骤，分析所有未考虑分母变化的情况，解法2，该方法可能没有忽略的可选性，极限为：解法3，该方法沿曲线另外，例如，教材p12中的示例、两个函数的连续性、可导性、可微性等，可以根据解：矛盾或定义确定一阶偏振函数是不连续的。 练习：教材p 221至t 13，多个函数具有连续的、可导性的、微小的关系；练习：教材P247T1至t 1，解3360，解3360，解3360，解：解问题