D7_1基本概念与可分离.ppt

高等数学,微分方程,第七章,积分问题,微分方程问题,推广,第七章微分方程,微分方程的基本概念,机动目录上页下页返回结束,第一讲,一、微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第七章,可分离变量微分方程,二、可分离变量微分方程,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,机动目录上页下页返回结束,第七章微分方程,引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求s=s(t).,机动目录上页下页返回结束,第一讲基本概念与可分离,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n阶显式微分方程),一、微分方程的基本概念,一般地,n阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,机动目录上页下页返回结束,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,机动目录上页下页返回结束,一、微分方程的基本概念,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,一、微分方程的基本概念,例1.验证函数,是微分方程,的解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,机动目录上页下页返回结束,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,一、微分方程的基本概念,求所满足的微分方程.(P298:5(2),例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q,解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标,即,点P(x,y)处的法线方程为,且线段PQ被y轴平分,第二节目录上页下页返回结束,P298(习题7-1),1;2(3),(4);3(2);4(2),(3);6,思考与练习,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,转化,机动目录上页下页返回结束,解分离变量方程,二、可分离变量方程,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,二、可分离变量方程,分离变量方程的解法:,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,说明由确定的隐函数y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x),=f(x)0时,上述过程可逆,由确定的隐函数x(y)也是的解.,机动目录上页下页返回结束,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,二、可分离变量方程,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),机动目录上页下页返回结束,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,二、可分离变量方程,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,机动目录上页下页返回结束,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,二、可分离变量方程,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,机动目录上页下页返回结束,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,二、可分离变量方程,练习:,解法1分离变量,即,(C0为常数，表示增长率.,P0是t=0时刻的人口数量.,为评估这一模型，将方程变形为,它是一个常数，这个比值称为相对增长率.,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,第三节目录上页下页返回结束,二、可分离变量方程,表15.1列出了1980年至1989年十年间的世界人口数量.,取dt=1和dPP,我们从这个表可以看出等式(1)中的相对,增长率近似为常数0.017.,令t=0表示1980年,t=1表示1981年,等等.,便可得到模型的初值问题：,这个初值问题的解给出了人口函数,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,第三节目录上页下页返回结束,二、可分离变量方程,这个模型预测1999年的世界人口大约是61.5亿，这比美国人口,普查办公室提供的该年度世界人口60.01亿要稍多.,由于自然环境用于维持生命的资源是有限的，它仅仅能适度,资源会更加紧缺而且增长率k会降低.,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,第三节目录上页下页返回结束,二、可分离变量方程,LogisticGrowth,(Malthus),k0表示单位时间内平均每人的,出生率与死亡率的差.,地容纳一定量的人口，假设这个最大人口数为M.,当人口数量接近这个极限人口或者接近环境的支撑能力时，,我们可以把它简单地表示为,(LogisticGrowth),第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,第三节目录上页下页返回结束,二、可分离变量方程,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x及y=C,机动目录上页下页返回结束,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程(如:P298,5(2),2)根据物理规律列方程(如:例4,例5),3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6),(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并根据定解条件确定特解.,3.解微分方程应用题的方法和步骤,机动目录上页下页返回结束,第七章微分方程,第一讲基本概念与可分离,思考与练习,求下列方程的通解:,提示:,(1)分离变量,(2)方程变形为,机动目录上页下页返回结束,第七章微分方程,第一讲基本概念与可