泰勒公式例题

泰勒公式及其应用等价无穷小在求解函数极限中的应用和推广泰勒公式及其应用介绍泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容。它将一些复杂函数近似表示为简单多项式函数。这种简化复杂性的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。笔者通过阅读大量的参考文献，收集了大量的习题，经过仔细的计算，一些疑难题目的证明来自于相应的参考文献，并对其应用方法进行了系统的总结和归纳。由于本文的主要内容是介绍应用，因此本文将结合大量实例进行说明。预备知识定义2.1如果函数有阶导数，则有(1)这是阿砣余数项，在这里叫做(1)f的泰勒公式。当=0时，(1)变成，这叫做麦克劳林公式(带阿砣余数)。定义2.2如果函数是在某个邻域内的连续导数，那么，(2)这里是拉格朗日余项，其中在和之间是中的泰勒公式。当=0时，(2)变为这个公式叫做麦克劳林公式(带拉格朗日余项)。通用函数的扩展：。定理2.1(中值定理)让一个函数在一个封闭的区间上是连续的，如果它是介于和之间的任何实数，那么至少有一个点，因此。泰勒公式的应用3.1使用泰勒公式寻找极限为了简化极限运算，有时可以用某一项的泰勒展开代替该项，这样就可以把原函数的极限转换成类似有理多项式的极限，从而可以简单地求出极限。示例3.1寻求极限。分析：这是类型限制。如果用罗比达方法来解决，那就很麻烦了。在这种情况下，总和可以分别用泰勒展开式代替，这样可以简化比较。答案是,因此.示例3.2限值。分析：这是类型限制。如果用罗比达方法来解决它，将会非常麻烦。在这种情况下，泰勒展开可以分别用来代替和sinx，这可以简化比较。解决方案：由,因此.示例3.3使用泰勒展开再次寻找极限。解决方案：笔记现在，我们可以彻底解释以下解决方案的错误因为，因此那时候，应该是3.2用泰勒公式证明不等式当要证明的不等式是包含多项式和初等函数的混合物时，还可以做一个辅助函数，用泰勒公式代替，这样证明起来就方便简单了。例3.2当时证明。那么，证据确凿泰勒公式，其中=3，得到其中。因此.当时，3.3用泰勒公式判断级数的敛散性当一个级数的通项表达式是由不同类型的函数表达式组成的复杂形式时，泰勒公式常用于将一个级数的通项简化成统一的形式，以便使用收敛准则。3.3用泰勒公式判断广义积分的敛散性示例3由于趋同，因此例3.3讨论了级数的收敛和发散。分析：很难根据广义项直接判断数列是正数列还是非正数列。因此，不可能正确选择收敛方法。注意，如果泰勒展开成幂的形式，如果幂的幂与幂的幂完全相同，那么收敛将是容易的。解决原因,因此,因此因此，这个系列是一个积极的系列。因为,因此。由于收敛性，从正项级数的比较和判别方法可知原级数的收敛性。3.4用泰勒公式证明根的唯一性例3.4让f(x)可在上二阶导数，是的，证明内存中有一个唯一的实根。分析：这里f(x)是一个抽象函数，很难直接讨论根。假设f(x)在二阶上是可导的，我们可以考虑在a点将f(x)展开成一阶泰勒公式，然后用环定理证明它。证明了，因为，因此，单调减少，因此，当xa，f(x)严格单调减少在上限。在a点展开的一阶泰勒公式从这个问题出发，那么就有，因而必然有，所以，再一次因为连续函数的中值定理的应用，就有，所以这个方程是唯一的因此，结果是。(*)正因为如此，有一个正数，在那个时候，有相同的数字。因此，当时，(*)型取负值，因此对任何有,也就是说，正在获得最大值。类似地，正在获得最小值。3.6用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开，可以通过加法、减法、乘法等运算得到一些更复杂初等函数的幂级数展开。示例3.6幂级数展开。解决方案使用泰勒公式3.7泰勒公式的近似计算该函数的近似计算公式和一些数值可由泰勒公式得到，由麦克劳林展开式得到的该函数的近似计算公式为,误差是余数。示例3.7计算Ln1.2的值，使误差不超过0.0001该解首先用拉格朗日余数写出f(x)=Ln(1 x) maclaurin展开式：,其中(在0和x之间)。制作拿着。因此当所需的公式不能得到它的精确值，即只能得到它的近似值时，泰勒公式是解决这类问题的最佳方法。例3.8中获得的近似值精确到。因为解中的被积函数是不可积的(也就是说，它不能用初等函数来表示)，所以近似值是用泰勒公式得到的。在的扩展中，将x替换为x一点一点地，得到上述公式的右端是一个收敛的交错级数，它是从剩余项的估计公式中得知的3.8用泰勒公式计算某些点的高阶导数如果f(x)泰勒公式是已知的，则加法项在其通项中的系数是精确的，因此高阶导数的值可以反过来获得，而不必反过来获得导数。例3.9求出x=1时函数的高阶导数。如果x=u 1被求解，那么，u=0时的泰勒公式为,因此,泰勒展开式中g(u)的项应该是，从g(u)的展开式中已知的项，因此,3.9使用泰勒公式计算行列式值如果一个行列式可以看作x的一个函数(通常是x的n次多项式)并写成f(x)，它可以根据泰勒公式在某处展开，某些行列式的值可以用这种方法得到。例3.10求N阶行列式D=(1)解，根据泰勒公式在z:，(2)易于了解(3)从(3)。根据行列式的推导规则，有所以这里的导数是, 将上述导数代入方程(2)，有如果是，如果是，是的。4摘要摘要：本文主要介绍泰勒公式及其九个应用，使我们对泰勒公式有更深的理解，以及如何用泰勒公式解决问题。只要我们在问题解决训练中注意分析，研究问题解决的条件及其形式特征，掌握以上处理规则，就能更好地掌握运用泰勒公式解决问题的技巧。无穷小极限的简单计算教学目的1.理解无穷小和无限的概念；2.掌握了无穷小的本质和比较，就会用等价无穷小来寻找极限；3.不同类型不定公式的不同解法。教学内容1、无穷小和无穷远；2.无穷小的比较；3.几种常见的等价无穷小等价无穷小替换：4.求极限的方法。重点和难点关键是要掌握无穷小的性质和比较，找到等价无穷小的极限。困难在于找到不定形式的极限。教学设计首先介绍无穷小和无穷的概念和性质(30分钟)。在理解无穷小和无穷的概念和性质的基础上，让学生掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后，总结了寻找极限(25分钟)和课堂练习(15分钟)的常用方法和技巧。教学内容首先，无穷小和无限1.定义在我们面前，我们研究了数列极限、(、)函数极限、(、)函数极限的七种方法。让我们用*表示上述七种方法之一，即*定义：当零作为给定*下的极限时，它被称为*下的无穷小，即例如，注无穷小和非常小的数字不能混淆。零是唯一可以注无穷大不能与大数混淆；无穷大是极限不存在的情况之一。无穷小和无限是相反的。在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小的，也可能是无限的，例如，所以在那个时候它是无限小的，在那个时候是无限的。2.无穷小与无穷的关系：在同一个自变量的变化过程中，如果它是无穷的，是无穷小的；相反，如果它是无穷小的，它就是无限的。摘要：无穷小和无穷小的概念反映了变量的变化趋势。因此，任何常数都不是无穷大，任何非零常数都不是无穷小的。当谈论无穷小和无穷小时，应首先给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限：的关系定理1中自变量在同一变化过程中的无穷小。证书：(必要性)有一个法令(充分性)如果其中一个在当时是无穷小的，那么的意思(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小)；(2)3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限无穷小的代数和仍然是无穷小的。注无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小。定理3有界函数和无穷小的乘积是无穷小。例如，推论1在同一过程中，一个有极限和无穷小的变量的乘积是无穷小的。推论2常数和无穷小的乘积是无穷小。推论3有限无穷小的乘积也是无穷小。二、无穷小的比较例如，观察极限：不可比。不同的极限反映了不同程度的“速度”趋近于零。1.定义：被设置为同一变化过程中的两个无穷小的独立变量，并且示例1证书：示例2解决办法2.常用等价无穷小：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(7) (8) (9)该函数的近似表达式：是用等价无穷小给出的例如3.等价无穷小替换定理：证书：例3(1)；(2)解： (1)，所以原始极限=8(2)原始限额=示例4误解：=0阳性溶液：所以最初的限制注和差形式一般不能被等价的无穷小所代替。只有因子乘积形式可以被等价的无穷小代替。示例5解决方案：原始公式三、极限的简单计算1.替代方法：直接将代入所需极限的函数，如果它存在，就是它的极限，例如；如果它不存在，我们也可以知道它属于哪个不确定的公式，以便我们可以选择不同的方法。例如，它不能被替换，但是我们可以看到这是一个不确定的形式。我们可以用下面的方法来解决它。2.零因子的分解和消除例如。3.分子(分母)有物理和化学方法例如，作为另一个例子，4.把无限变成无限小例如，实际上是分子和分母同时除以这个无穷数。从中不难得出结论。作为另一个例子，(分子和分母平分)。另一个例子是、(分子和分母均分)。5.利用无穷小和等价无穷小替换的性质求极限。例如，(无穷小乘以有界量)。作为另一个例子，解决方法：不能使用商规则从无穷小和无穷之间的关系，我们可以得到另一个例子，参见本节中的例子3-5，以等价无穷小代替极限的例子。6.使用两个重要的极限来找到极限(见示例1.4案例3-5)7.分段函数、复合函数极限例如，解决方案：左侧和右侧限制存在且相等。的灵感和讨论问题1:解决方案：无界的，不是无限的。结论：无穷大是一个特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大。问题2:此外，如果你能保证任何结论？试着举个例子。解决方案：没有保证。问题3:可以比较任意两个无穷小吗？解答：不。例如，在那个时候它们都是无穷小。但它并不存在，也不是无限的，所以不能与当时的情况相比。课堂练习找到下列功能的极限(1)；解决方案：原始限制=(2)寻求分析“”类型，拆卸项目。解决方案：原始限制=(3)；分析：“抓大头法”用于打字解决方案：原始限制=，或原始限制(4)；分析分子物理化学解决方案：原始限制=(5)分析类型不是固定的，四种算法不能应用。它需要先被除，然后被计算。解决方案：=(6)“分析”类型不是固定的，四种算法无效，分母是物理和化学的零消除因子。解决方案：原始限制=6(7)在确定极限之前，溶液：变形。目录摘要一、无穷小(大)的概念无穷小和无限是相对于过程的。1、主要内容：两个定义；四个定理；三个推论。2.注意：(1)无限小(大)是一个变量，不能与非常小(大)的数字混淆。零是唯一的无穷小数；(2)无穷多个无穷小的代数和(积)不一定是无穷小。(3)无界变量不一定是无限的。二、无穷小：的比较1.它反映了两个无穷小在同一过程中趋于零的速度，但不是所有的无穷小都可以比较。高(低)阶无穷小；等价无穷小；无穷小的顺序。2.等价无穷小替换：另一种寻找极限的方法是，注意适用的条件。三、极限方法(不同类型待定公式的不同方法)；A.用多项式和分式函数求极限；B.消除零因子法求极限；C.通过划分无穷小因子来寻找极限；D.利用