四校联考数学理

十月月考试卷（理科）答案 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 第第 I 卷卷 选择题（共选择题（共 60 分）分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1） 已知集合 1 3 62 |,1)2(log| 2 1 x x RxBxRxA， 则BA（D） A.3 , 1 B.3 , 1 C. D.3 , 2 （2）下列有关命题的说法中错误的是（ C ） A. 命题： “若)(xfy 是幂函数，则)(xfy 的图象不经过第四象限” 的否命题是假命题 B. 设Rba,，则ba 是bbaa的充要条件 C. 命题“ NnfNn)(,且nnf)(”的否定形式 是“ NnfNn)(, 00 且 00) (nnf D. 若qp为假命题，则, p q均为假命题 （3）若函数, 92) 1(log2xxf x 则)3(f（ C ） A.7 B.10 C.11 D.20 （4） 设样本数据 2021 ,xxx的均值和方差分别为 1 和 8， 若)20, 2 , 1(32ixy ii ， 则 2021 ,yyy的均值和方差分别是（ A ） A.5，32 B .5，19 C.1，32 D.4，35 （5）在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一 次的概率为 64 63 ，则事件A恰好发生一次的概率为（ C ） A. 4 1 B. 4 3 C. 64 9 D. 64 27 （6）某品牌牛奶的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程axby 中的b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 7 万元时销售额为（ A ） A.74.9 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 （7）已知ba 2 1 2 1 loglog，则下列不等式一定成立的是（ C ） A.0)ln(ba B. ba 11 C. ba 3 1 4 1 D.13 ba 广告费用x（万元） 4 2 3 5 销售额y（万元） 49 26 39 54 （8）定义在R上的偶函数)(xf满足：对任意的)(0 ,(, 2121 xxxx，都有 0 )()( 21 21 xx xfxf ，则下列结论正确的是（ A ） A.)5(log)2()3 . 0( 2 3 . 02 fff B. )3 . 0()2()5(log 23 . 0 2 fff C. )2()3 . 0()5(log 3 . 02 2 fff D. )2()5(log)3 . 0( 3 . 0 2 2 fff （9）如图可能是下列哪个函数的图象（ D ） y A.12 2 xy x B. 14 sin2 x x y x C. x x y ln D. x exxy)2( 2 O x (10)已知函数)32(log)( 2 2 xaxxf，若对于任意实数k，总存在实数 0 x，使得 kxf)( 0 成立，则实数a的取值范围是（ B ） A. 3 1 , 1 B. 3 1 , 0 C. , 3 D. , 1 （11）已知函数 2 2016 2016log120162 xx f xxx ，则关于x的不等式 314fxf x的解集为（ B ） A. 1 , 4 B. 1 , 4 C.0, D.,0 （12）定义在区间), 0( 上的函数)(xf满足：)(3)()(2xfxfxxf对 ), 0( x恒成立，其中)(x f 为)(xf的导函数.则（ D ） A. 2 1 )2( ) 1 ( 4 1 f f B. 8 1 )2( ) 1 ( 16 1 f f C. 2 1 )2( ) 1 ( 3 1 f f D. 4 1 )2( ) 1 ( 8 1 f f 第二卷第二卷 非选择题（共非选择题（共 90 分）分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） （13）已知随机变量服从正态分布，且方程02 2 xx有实数解得概率为 2 1 ，若 75. 0)2(P，则20P 0.5 , （14） 已知xdxacos 6 0 ， 则 7 ) 1 ( ax xx的展开式中的常数项是 560 （用数字作答） . （15）甲与其四位朋友各有一辆私家车，车牌尾数分别是 0、0、2、1、5.为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天的限行规定 （奇数日车牌尾数为奇数的车通行， 偶数日车牌尾数为偶数的车通 行） ，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同 的用车方案种数为 64 。 （16）已知函数)(12()()( 2112xxxx eexeexxf ，则满足0)(xf的实数x的 取值范围为 ) 1 , 3 1 ( 。 三、解答题（本题共 6 小题，满分 70 分） 17、 （本小题满分 10 分）已知集合.1log|,2733| 2 xxBxA x （1）分别求ABCBA R )( ,; （2）已知集合1|axxC，若AC ，求实数a的取值集合。 解： （1）3|)(,32|xxABCxxBA R （2）3|aa 18、 （本小题满分 12 分）已知034:, 0107: 222 mmxxqxxp，其中. 0m （1）若, 4m且qp为真，求x的取值范围； （2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围。 解： （1）; 54 x （2）2 3 5 m。 19、 （本小题满分 12 分）对于函数)(xf，若在定义域内存在实数x，满足)()(xfxf， 则称)(xf为“局部奇函数” ， （1）已知二次函数),(42)( 2 Rbaabxaxxf，试判断 )(xf是否为“局部奇函数”？并说明理由； （2）设mxf x 2)(是定义在2 , 1上的“局部奇函数” ，求实数m的取值范围； （3）设324)( 21 mmxf xx 为定义域R上的“局部奇函数” ，求实数m的取值范 围。 解：为局部奇函数 1, 8 17 m 2231m 20、 （本小题满分 12 分）为推行“微课、翻转课堂”教学法，某数学老师分别用传统教学和“微 课、翻转课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学 效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，结果如下表： 记成绩不低于 70 分者为“成绩优良” （1）由以上统计数据填写下面 22 列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”? 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ac bd ab cd 临界值表 （2）现从上述 40 人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取 8 人进行考核在这 8 人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望 解： （1） 甲班 乙班 总计 成绩优良 9 16 25 成绩不优良 11 4 15 总计 20 20 40 根据22列联表中的数据可得024. 5227. 5 20201525 )111649(40 2 2 K 所以在犯错误概率不超过 0.025 的前提下 认为“成绩优良与教学方式有关” 。 （2）由表可知在 8 人中成绩不优良的人数为38 40 15 ， X的可能取值为：0,1,2,3. 455 4 )3(, 455 66 )2( 91 44 ) 1(, 91 33 )0( 3 15 3 4 3 15 2 4 1 11 3 15 1 4 2 11 3 15 3 11 C C XP C CC XP C CC XP C C XP X的分布列为： X 0 1 2 3 P 91 33 91 44 455 65 455 4 455 364 )(XE 21、(本小题满分 12 分)定义在) 1 , 1(上的函数)(xf满足下列条件： 对任意) 1 , 1(,yx，都有) 1 ()()( yx yx fyfxf ； 当)0 , 1(x时，有0)(xf.求证： （1）)(xf是奇函数； （2）)(xf是单调递减函数； （3）) 3 1 () 55 1 () 19 1 () 11 1 ( 2 f nn fff ，其中 Nn。 证明： （1）令0 yx代入) 1 ()()( xy yx fyfxf 得到0)0(f. 令xy得0)0()()(fxfxf，即)()(xfxf. )(xf在) 1 , 1(上是奇函数. （2）设11 21 xx，则) 1 ()()()()( 21 21 2121 xx xx fxfxfxfxf . 11, 1, 11 21212121 xxxxxxxx. 又0 1 , 0 21 21 21 xx xx xx且0 1 )1)(1 ( 1 1 21 21 21 21 xx xx xx xx ， )()(, 0)()(, 0) 1 (, 0 1 1 2121 21 21 21 21 xfxfxfxf xx xx f xx xx 所以)(xf在) 1 , 1(上是单调递减函数。 （3） ) 3 1 () 2 1 () 3 1 () 2 1 ( ) 3 1 ( 2 1 1 ) 3 1 ( 2 1 1)3)(2( )2()3( ) 55 1 ( 2 n f n f n f n f nn nn f nn nn f nn f ). 3 1 () 3 1 () 3 1 () 3 1 ( ) 3 1 () 2 1 () 5 1 () 4 1 () 4 1 () 3 1 ( ) 55 1 () 19 1 () 11 1 ( 2 n ff n ff n f n fffff nn fff ). 3 1 () 3 1 () 3 1 (. 0) 3 1 (, 1 3 1 0f n ff n f n 故) 3 1 () 55 1 () 19 1 () 11 1 ( 2 f nn fff 22、(本小题满分 12 分) 设函数( )ln(1), ( )ln(1) 1 x f xax g xxbx x . （1）若函数( )f x在0 x 处有极值，求函数( )f x的最大值； （2）是否存在实数b，使得关于x的不等式( )0g x 在 0, 上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由； 证明：不等式 2 1 1 1ln1,2, 12 n k k nn k 21.（1）由已知得： 2 1 ( ) 1 1 a fx x x ，且函数( )f x在0 x 处有极值 2 1 (0)0 10 10 a f ，即1a ( )ln(1), 1 x f xx x 22 11 ( ) 1 11 x fx x xx 当1,0 x 时，( )0fx，( )f x单调递增； 当0,x时，( )0fx，( )f x单调递减；函数( )f x的最大值为(0)0f （2）由已知得： 1 ( ) 1 g xb x (i)若1b ，则0,x时， 1 ( )0 1 g xb x ( )ln(1)g xxbx在0,上为减函数， ( )ln(1)(0)0g xxbxg在0,上恒成立； (ii)若0b ，则0,x时， 1 ( )0 1 g xb x ( )ln(1)g xxbx在0,上为增函数， ( )ln(1)(0)0g xxbxg，不能使( )0g x 在0,上恒成立； (iii)若01b，则 1 ( )0 1 g xb x 时， 1 1x b ， 当 1 0,1x b 时，( )0g x， ( )ln(1)g xxbx在 1 0,1 b 上为增函数， 此时( )ln(1)(0)0g xxbxg， 不能使( )0g x 在0,上恒成立； 综上所述，b的取值范围是1,x 8 分 由以上得：ln(1)(0) 1 x xx x x