理解矩阵,矩阵背后的现实意义

理解矩阵，矩阵背后的实用作者：郭波我很久以前已经看过了，当我回顾最近偶然存储的文章的时候，想起很多朋友问了矩阵的问题，虽然我对矩阵不太了解，但我想理解它，希望这几篇文章能有帮助，转过来：线性代数过程中，无论是从行列式开始，还是直接从矩阵开始，从头开始，都充满了难解的事情。例如，首先介绍了全国普通工科大学教授中使用最广泛的同志线性代数教材(现为第四版)，然后介绍了逆序数这个“前古人，后发”的错误概念，然后提出了逆序数决定因素的非常不直观的定义，然后简单地提出了愚蠢决定因素的性质和练习3354，将该行作为一个系数加到另一行，减去该列。像我这样素质一般的大部分学生来这里的话，会有点头晕：什么东西都很模糊，已经开始通过婚外情来演出了，这太“胡说”了吧！于是，有人开始逃课，更多的人开始抄作业。之后的发展可以描述为一个峰回路，所以跟着这个无意义的行列式，同样是荒谬但伟大的无证者的出现矩阵来了！几年后，我可以理解当老师像傻瓜一样用大括号捆住糊涂的数字，然后突然说“这东西叫矩阵”的时候，我的数学经历打开了多么悲伤、痛苦、悲惨的场面！从那以后，几乎所有与“学问”这个词接触的事物中，游行是绝对不会减少的。对我一次得不到线性代数的傻瓜来说，矩阵老板总是不让我做灰色的脸，撕裂头发的血。就像阿奎遇到了假阳鬼一样，我在阅读中看到了游行，揉着额头绕道而行。事实上，我不是特例。普通工科生第一次学线性代数的时候通常会遇到困难。这种情况在国内外都是这样。瑞典数学家Lars Garding说：“如果你不熟悉线性代数的概念，学习自然科学似乎与文盲几乎相似。”但是，“按照当前国际标准，线性代数是通过公理来表达的。那是第二代数学模型，这会给教学带来困难。”事实上，随着线性代数的开始，不知不觉间进入了“第二代数学模型”的范畴，这意味着数学的表达方式和抽象性经历了全面的进化。从小就学会了“第一代数学模型”以实用为主的具体数学模型这样激烈地不告诉我们paradigm shift，进行下去就没有困难了。大多数工科学生经常学习数值分析、数学计划、矩阵理论等后续课程后，才能理解和熟练使用线性代数。尽管如此，使用线性代数作为工具进行研究和应用的人很少，但很多初学者提出的基本问题并不清楚。例如：矩阵究竟是什么？向量可以被视为具有n个不同特性(维度)的对象的表示形式，矩阵是什么？如果认为矩阵是由一组列(行)矢量组成的新复合矢量的扩展，为什么这个展开如此广泛？特别是为什么二维展开那么有用？如果矩阵中的每个元素又是一个矢量，再扩展一次成为三维垂直正方形更有用吗？矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这种奇怪的乘法法则实际上能发挥那么大的效果呢？看似完全无关的问题中，有很多最终归结为矩阵乘法，这难道不奇怪吗？矩阵乘法的荒唐规则下是否包含了世界的本质规律？那么，这些本质规律是什么呢？决定因素究竟是什么？为什么有那么奇怪的计算规则？决定因素及其方阵的本质是什么？为什么只有正方形有对应的矩阵表达式，没有一般矩阵(不要认为这个问题很蠢，如果需要，就不能定义m x n矩阵的矩阵表达式，不需要这样做的原因，但为什么不需要呢？还有，为什么矩阵表达式的计算规则看起来不像与矩阵中的任何计算规则有视觉联系？这一切都是巧合吗？矩阵为什么可以计算块？块计算这件事看起来那么随便，为什么实际上跑了？对于矩阵转换运算AT，(AB)T=BTAT；对于矩阵反函数A-1，(AB)-1=B-1A-1。看似完全无关的两种运算为什么具有相似的性质？只是巧合吗？P-1AP获得的矩阵与a矩阵“相似”的原因是什么？这里“类似”是什么意思？特征值和特征向量的本质是什么？Ax=x，Noda矩阵效应只是小数，这一定义令人惊讶。但为什么被定义为“特征”或“独特”呢？他们到底刻了什么？这种问题使长期使用线性代数的人总是惊慌失措。正如大人面对孩子的惨败，最终不得不说“就这样，到此为止吧”，很多老兵最终也用“就这样，接受并记住就行了”的话搪塞过去。但是如果没有这些问题的答案，线性代数对我们来说是粗糙、不合理、不知道原因的规则的集合。我们会感到被无意识地“抛弃”在强迫的世界里，而不是学习学问。只是在考试鞭子的挥动下赶路。完全尝不出其中帅气、和谐、统一的东西。许多年后，我们仍然发现这门学问如此有用，但我们问：“为什么这么巧呢？”你会疑惑。我认为这是我们线性代数教学中直觉丧失的结果。这些问题只用简单的数学证明，就能回答“怎样做”和“怎样做”等问题，并不能使提问者满意。例如，如果通过一般的证明方法证明了矩阵分割运算是实际可行的，这并不能解决提问者的疑惑。他们真正的混乱是矩阵分割运算为什么是可能的。究竟只是偶然，还是由这种个体的什么本质决定的呢？如果是后者，矩阵的这种本质是什么？如果你稍微考虑一下上面提到的问题，就会发现所有这些问题不仅仅是通过数学证明就能解决的。像我们的教科书一样，每件事都用数学证明，最终培养出来的学生只能熟练地使用工具，但缺乏真正意义上的理解。对于与上述类似的线性代数的直观问题，两年多来我断断续续地思考了四、五次以上，读了几本国内外线性代数、数值分析、代数、数学一般论的书前苏联名着数学：它的内容、方法和意义，孔里特教授的线性代数五讲，前面提到的encounter with mathematics(数学概观)Thomas A. Garrity的数学拾遗给了我很大的灵感。尽管如此，我对这个话题的认识经历了很多次自我否定。例如，以前考虑过的某个结论曾经记录在自己的博客上，但现在我认为这个结论基本上是错误的。所以我想更充分地记录下自己现在的理解，一方面因为我觉得现在的理解比较成熟，可以和别人讨论，咨询别人。另一方面，如果以后进一步了解，推翻现在的理解，现在使用的这个快照也是有意义的。因为打算写得更多，所以会分几次慢慢写。也不知道是否有时间慢慢写完作。写一下有没有中断。今天我们先来谈谈线性空间和矩阵的一些核心概念的理解。这些东西大部分是根据自己的理解写的，基本上没有做笔记，可能会指出错误的地方。但我想说直觉，即数学背后的实际问题。首先介绍空间，这个概念是现代数学的名望之一，从拓扑空间开始，一步一步地定义，就可以形成很多空间。线性空间实际上是比较初步的，在里面定义标准，就成为正规线性空间。满足完整的线性空间，就成为巴拿赫空间。在规则线性空间中定义角度会产生内部产品空间，如果内部产品空间满足完整性，则会产生希尔伯特空间。总之，空间是多种多样的。从某个空间的数学定义来看，通常可以说，有一个“定义特定概念，满足其特性的集合体”。这有点奇怪，为什么要把这些元音叫做“空间”？你会发现这很有道理。我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问是我们生活的三维空间(根据牛顿的绝对时间观)，数学上来说，这是三维欧氏空间。首先，不管数量多少，让我们看看我们熟悉的这种空间有哪些最基本的特征。仔细想想，这个三维空间：1.由许多(实际上是无限的)位置点组成。这些点之间存在相对关系。可以在空间中定义长度、角度。4.此空间可以包含运动。这里我们说的运动不是微积分意义上的“连续”运动，而是从一点到另一点的移动(变换)。上述这些特性中最重要的是第四条。第一条，第二条可以说是空间的基础，不是空间特有的性质。论数学问题的一切都要有一个收集。大多数情况下，这个集合需要定义一些结构(关系)。有这样的东西并不意味着它就是空间。而且，第3条太特殊了，不需要具备其他空间，不具有核心性质。只有第4条是空间的本质。换言之，接受运动是空间的本质属性。通过认识到这一点，我们可以将我们对三维空间的认识扩展到其他空间。实际上，任何空间都必须接受和支持在其中发生的规则运动(变换)。拓扑空间中具有拓扑变换的空间、线性空间中具有线性变换的空间、仿射空间中具有仿射变换的空间，这些变换都只是该空间中允许的运动形式。因此，“空间”是容纳运动的一个对象集合，变换规定了该空间的运动。现在，让我们看一下线性空间。线性空间的定义在任何一本书里都有。但是承认线性空间是空间，所以首先要解决两个最基本的问题。就是这样。1.空间是对象的集合，线性空间也是空间，因此也是对象的集合。那么，线性空间是什么样的对象集合？或者，线性空间中的对象有什么共同点？线性空间中的运动如何表示？也就是说，线性变换如何表示？先回答第一个问题吧。这个问题的答案可以简单明了地回答，不需要拐弯抹角。线性空间中的所有对象，可以选择基准和坐标以矢量形式表示。普通的向量空间我不会说。举两个不平凡的例子：L1 .最大次项不大于n次的多项式的整体构成线性空间。也就是说，此线性空间中的每个对象都是多项式的。X0、x1、基于xn，这些多项式实际上可以表示为一组n一维矢量，即多项式的x(i-1)项系数。请注意，选择基线有多种方法，只要与选择的基线集无关，就可以这样做。这需要使用后面提到的概念，所以这里先不说，只提。L2 .构造线性空间作为闭区间a，b的n阶连续微分函数的整体。也就是说，此线性空间中的每个对象都是连续函数。对于两个连续函数中的任何一个，根据拜耳斯特罗斯定理，最高阶不大于n的多项式函数可以找到与连续函数的差为0，即完全相等。就这样把问题归结为L1。不再需要重复。所以矢量很强大。找到合适的基础后，可以用向量表示线性空间中的任何对象。这里有一篇大文章。因为矢量曲面只有一列数字。但实际上，由于其整顿，除了这些数字自己携带的信息外，每个数字的对应位置也可以装载信息。阵列最简单但最强大的原因是什么？根本原因就在这里。这是另一个问题。这里不说。现在，让我们回答第二个问题，它涉及线性代数最基本的问题之一。线性空间中称为线性变换的行为。也就是说，通过从线性空间中的一点移动到任意其他点，可以通过一个线性变化完成。那么，线性变换如何表示？有趣的是，在线性空间中选择基本集不仅可以将空间中的所有对象描述为一个向量，还可以用矩阵描述该空间中的所有运动(变换)。使对象具有该运动的方法是将表示该运动的矩阵乘以表示该对象的矢量。也就是说，在线性空间中选择基准后，矢量将特性对象，矩阵将特性对象的行为，并通过矩阵和矢量的乘法应用运动。是的，矩阵的本质是运动的说明。如果后来有人问矩阵是什么，那么可以大幅度地说矩阵本质是对运动的解释。但是多么有趣啊。矢量本身也可以看作n x 1矩阵，不是吗？一个空间中的对象和运动可以用类似的方式表达，真是太棒了。可以说是偶然吗？如果是巧合，那真是幸运的巧合！在线性代数中，大部分惊人的特性可以说与这种偶然直接相关。上篇说“矩阵是对运动的说明”，到目前为止，大家似乎都没有什么意见。但是我相信迟早会有数学系出身的网友出演。因为运动这个概念在数学和物理中与微积分有关。我们学微积分的时候，总有人说基本数学是研究常数的数学，是研究静态的数学，高级数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家都散布谣言，几乎每个人都知道这句话。但是，真的知道这句话是什么意思的人似乎也不多。简而言之，在我们人类的经验中，运动带来了连续性的概念，即使从a点到b点，光线最快，也需要时间逐步穿过AB之间的路径。而且，如果不连续地定义此事，限制的概念，根本无法解释。古希腊人数学很强，但由于缺乏极限观念，无法解释运动，他们被吉诺著名的悖论(箭不动、飞的腿阿基里斯无法超越乌龟等四个悖论)救活了。这篇文章不是说微积分，所以我不再说了。感兴趣的读者可以看看杰民宇教授写的重温微积分。我就是在读了这本书的第一部分后，才明白“高级数学是研究体育的数学”这句话的道理。但在这篇理解矩阵文章中，“运动”的概念不是微积分的连续性，而是瞬间发生的变化。例如，这个时刻从a点经过“动作”，1