第六章 第四节 基本不等式.ppt

1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.,1.基本不等式,2.几个重要的不等式,3.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的_不小于其.,算术平均数,几何平均数,4.利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当时，xy有值是(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值P，那么当且仅当时，xy有值是(简记：和定积最大).,xy,最小,xy,最大,思考探究在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？,提示：利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”.“一正”即公式中a、b必须是正数，“二定”即必须有定值(和为定值或积为定值)，“三相等”即公式中的等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件.,1.已知ab0，a，bR，则下列式子总能成立的是()A.2B.2C.2D.|2,解析：选项A、B、C中不能保证为正.,答案：D,2.已知f(x)x2(x0)，则f(x)有()A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为2D.最小值为2,解析：x0，f(x)x2220，当且仅当x，即x1时，“”成立.,答案：B,3.下列函数中，y的最小值为4的是()A.yxB.y(xR)C.yex4exD.ysinx(0x),解析：对于A，当x0时，最小值不存在且y0；B中y24，当且仅当x221时等号成立，这样的实数x不存在，故y(xR)取不到最小值4；同理对于D，等号成立的条件为sin2x4，这也是不可能的；只有C，yex4ex4，当且仅当ex2，即xln2时等号成立，函数有最小值4.,答案：C,4.若ab1，P，Q(lgalgb)，Rlg()，则P，Q，R的大小关系为.,解析：ab1，lg(lgalgb)，又(lgalgb)，RQP.,答案：RQP,5.若直线axby10(a0，b0)平分圆x2y28x2y10，则的最小值为.,解析：由x2y28x2y10得(x4)2(y1)216，设圆的圆心坐标为(4，1)，4ab10，即4ab1，由14ab24，得ab，16，的最小值为16.,答案：16,1.创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值.,(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.,2.基本不等式的集中变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等.如,(1)设0x2，求函数y的最大值；(2)求a的取值范围；(3)已知x0，y0，且xy1，求的最小值.,思路点拨,课堂笔记(1)0x2，03x6,83x20，y4，当且仅当3x83x，即x时，取等号.当x，y的最大值是4.,(2)显然a4，当a4时，a40，a(a4)42424，当且仅当a4，即a4时，取等号；当a4时，a40，,a(a4)4(4a)42424，当且仅当(4a)，即a4时，取等号.a的取值范围是(，2424，).,(3)x0，y0，且xy1，()(xy)1010218.当且仅当，即x2y时等号成立，当x，y时，有最小值18.,若x0,1，求函数y的最大值.,解：由例1(1)的解答知，当x0,1时，函数的最大值不能用基本不等式.yx0,1)，,函数在0,1上单调递增.ymax.,利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.,特别警示证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意基本不等式的变形形式的应用.,已知a0，b0且ab1.求证：(1)4；(2)2.,思路点拨,课堂笔记(1)a0，b0，且ab1.224.当且仅当，即ab时，等号成立.原不等式成立.,(2)a0，b0，且ab1.原不等式4ab1242241,1ab(ab)1ab11ab.a0，b0，1ab2(当且仅当ab时取等号).ab.故原不等式成立.,应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答.,特别警示(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其取值范围.(2)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时可利用函数的单调性解决.,(2009湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙总费用为y(单位：元).,(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.,思路点拨,课堂笔记(1)如图，设矩形的另一边长为am，则y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得a，所以y225x360(x0).,(2)x0，225x210800.y225x36010440.当且仅当225x时，等号成立.即当x24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.,以选择题或填空题的形式考查基本不等式在求最值中的应用，是高考对本节内容的常规考法.近几年高考中多次出现应用基本不等式求最值的应用题，如09年湖北、江苏高考，符合新课标对学生应用所学知识分析解决实际问题能力的要求，仍是今后高考对本节内容的一个考查方向.,考题印证(2009江苏高考)(12分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为,现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.,(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mAmB时，求证：h甲h乙；(2)设mAmB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.,【解】设mAx，mBy.(1)甲买进产品A的满意度：h1甲；甲卖出产品B的满意度：h2甲；甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：h甲；(3分)同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：h乙(4分)当xy时，,故h甲h乙.(6分),(2)当xy时，由(1)知h甲h乙，因为，且等号成立当且仅当y10时成立.当y10时，x6.因此，当mA6，mB10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为.(8分),(3)由(2)知h0.因为h甲h乙(10分)所以，当h甲，h乙时，有h甲h乙.因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立；(12分),自主体验某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%).问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.,解：(1)设该厂应隔x(xN)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1.饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036(元)，x天饲料的保管与其他费用共是6(x1)6(x2)63x23x(元).,从而有1y(3x23x300)2001.83x357417.当且仅当3x，即x10时，y1有最小值.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.,(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则y2(3x23x300)2001.80.853x303(x25).y23，,当x25时，y20，即函数y2在25，)上是增函数，当x25时，y2取得最小值为390.而390417，该厂可以接受此优惠条件.,1.下列结论正确的是()A.当x0且x1时，lgx2B.当x0时，2C.当x2时，x的最小值为2D.当00，22，当且仅当，即x1时，等号成立.,答案：B,2.(2009天津高考)设x，yR，a1，b1.若axby3，ab2，则的最大值为()A.2B.C.1D.,解析：axby3，xloga3，ylogb3，log3alog3blog3ablog3log331.,答案：C,3.已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则的最小值是()A.2B.2C.4D.2,解析：因为x0，y0，且lg2xlg8ylg2，所以x3y1，于是有(x3y)()2()4.,答案：C,4.已知0x，则函数y5x(34x)的最大值为.,解析：因为0x，所以x0，所以y5x(34x)20 x(x)20当且仅当xx，即x时等号成立.,答案：20,5.(2010忻州模拟)设x，y，z为正实数，满足x2y3z0，则的最小值是.,解析：由x2y3z0得y，代入得3，