矩阵的若尔当标准型及简单应用

矩阵的和约当标准型及其简单应用摘要：矩阵的约当标准型是线性代数的重要组成部分。它是通过数字矩阵的相似变换得到的。矩阵的约当标准型理论已广泛应用于数学、理论力学、计算方法、物理、化学等数学领域。每个N级复矩阵A类似于一个约当矩阵。除了约旦区块的排列顺序之外，该约旦矩阵由矩阵A唯一确定。对于n阶矩阵，如果它的特征根方程当有多个根并且多个根的数目等于相应特征向量的数目时，这个n阶矩阵可以是通过相似变换转换成对角线形状。本文主要研究了矩阵的最小多项式、求可逆矩阵P的方法和几种求Jordan标准型的方法，并讨论了Jordan标准型矩阵。关键词：约旦线性变换矩阵标准定义1:假设它是一个复数，一个矩阵，其中主对角线上的元素都是1，紧挨着主对角线的元素都是1，其余的都是0。它被称为它所属的约旦(或约旦区块)。当=0时，它就是所谓的幂零约旦矩阵。定理1:假设它是一个维向量空间的线性变换，所有这些都是互不相同的特征值，那么矩阵有一个形式的基础这里=，都属于乔丹街区。证明：最小多项式是，但它是复域中的不可约因式分解。这里有不同的特征值和正整数。再次=ker |，所以空间有直接和分解=对于每一个，如果约束是开的，那么它是子空间的幂零线性变换，并且子空间可以被分解成循环子空间的直接和：在每个循环子空间中，取一个循环基形成一个基，然后关于这个基的矩阵具有一个形状这是幂零的乔丹积木。所以，所以=，所以为了增加基数，矩阵是这是乔丹的所有作品。对于每个子空间，以上述方式选择一个基，然后关于这个基的矩阵是定理(2)所要求的形式。注意：在矩阵(2)中，主对角线上的第一块是矩阵。子空间显然是由唯一性决定的，每个块中出现的Jordan块是由唯一性决定的，所以它是由唯一性决定的。定义2:像这样的形式的顺序矩阵，每个都是一个约旦块，被称为约旦标准形式。例如：它们都是约旦的标准形式。定理2:复杂字段中的每个顺序矩阵都类似于Jordan标准格式。除了约旦区块的排列顺序，约旦标准形式类似于矩阵是唯一确定的。证明：在对角块矩阵中，矩阵显然是通过重排每个小块矩阵的顺序而得到的，这是由Jordan块的唯一性证明的。定理3:(1)将线性变换的特征多项式设置为一维线性空间上：分解为上表达式的一次乘积。这里，它是直和=，dim=，并且特征多项式和最小多项式的上限|是。(2)将矩阵(，)的特征多项式分解成前一表达式的乘积。det。这时，有一个规则的矩阵，方阵的末端等于，形成的约当数等于它所属的特征空间多项式的维数。若当块矩阵被称为矩阵的若当。注意：在中，顺序的约旦块的数量是唯一确定的。示例1:证明了对存在正则矩阵，(，)，因此=和具有相等的约当标准型。证明：如果和有相等的约当标准型，那么就有正则矩阵，如果让=，=，让=，那么正则连接=否则，如果有正则矩阵，让=，如果是约当标准型，那么就是约当标准型。示例2:求矩阵的约当标准型=，现实矩阵使之成为约当矩阵。解决方案：(1)秩，所以特征空间(5)的维数是3秩(-5)=2，所以Jordan块的数量是2，并且Jordan标准形是。(2)方程(2)=0的通解是=。例如：设=1，get=，dim=(-2)=1，(-3)=0，通解为=，因此属于特征值3的特征空间(3)的维数为1。因此，属于特征值3的约当块是1。例如：设=1，get=，方程(-3)=的通解是例如：顺序=，=-2，=3，=3。所以如果order(