有理数知识点

有理数1.知识结构图本章的主要内容可以概括为有理数的概念和有理数的运算。有理数的概念可以通过数轴来认识和理解。同时，这些概念可以通过数轴联系在一起。有理数的运算是整章的重点。计算时要注意四个方面，一是运算法则，二是运算法则，三是运算顺序，四是近似计算。第二，知识的要点：1.正数：大于零的数字。负数：小于零的数字(前面有负号“-”的数字)注：0既不是正的也不是负的；这是正数和负数的分界点(2)对于正数和负数，不能简单地理解带“-”的数字是正数，带“-”的数字是负数。(3)正数和负数可以表示两个含义相反的量。2.有理数的分类：根据定义、性质和符号有理数注：两种分类方法不同，但都包括有理数。(2)零既不是正的也不是负的，但它是一个整数。(3)非有理数的常见数是和正则但非循环小数。例如：0。3.数轴与有理数的比较要点：绘制数轴时，注意数轴的三个要素：原点、正方向和单位长度。(2)所有有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上仍有一些点不表示有理数，如。(3)数字轴上的右点表示的数字总是大于左点表示的数字。也就是说，负数小于0，0小于正数，负数小于正数。(4)比较两个负数，绝对值越大越小。示例：-1-24.相反的数字由两侧数轴上的两个相同距离的点表示的两个数是相互相反的数(几何定义)。只有两个符号不同的数是相反的(代数定义)，相反的数0是0。a的反数是。找到一个数的反数就是在数前加一个“-”，然后简化它。5.倒数计秒乘积等于1的两个数是互逆的。例如，a(a0)的倒数是。6.绝对值代表其指向数轴原点的一个数的绝对值称为该数。绝对值是非负的，即 A 0。(2)两个彼此相反的数的绝对值。(3)如果两个非负表达式的和为0(或两个表达式相互相反)，则两个表达式都等于。即非负条件表达式。例如，如果(x-3)2 x y 7=0，找到yx的值。(4)数轴上两个点之间的距离是两个点的个数之差的绝对值：点A代表数A，点B代表数BAB=b -a-b或ab= b a 有两个点与代表数字m的点之间的距离为 a(a 0 ):代表的数字是 f 6527ma。(5)去除绝对值的三个基础：正数的绝对值本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的反数。字母A可用于表示以下内容：7.有理数的运算：(1)加法定律：将两个符号相同的数相加，取相同的符号作为相加数，并加上绝对值。例如：(5) (6)=11 (-5) (-6)=-11如果绝对值相等，总和为0；如果绝对值不相等，取绝对值较大的和的符号，从绝对值较大的值中减去绝对值较小的值。(5)(-5)=0；(5)(-6)=-1；(-5)(6)=1；如果一个数被加到零，这个数仍然被获得，例如(5)0=5；(-5) 0=-5注：有理数的加法包括两个步骤：(1)确定；(2)肯定。(2)减法规则：减去一个数等于加上该数的相反数。(5)-(6)=(5)(-6)；(5)-(6)=(5)(6)(3)有理数的加减可以互换，主要是省略加号：例如：-20 (3) (-5)-(-7)可以写成如下形式：和或。(4)乘法法则：将两个数相乘，同一个符号是正的，不同的符号是负的，然后将(5)(6)=30；(-5)(-6)=30；(5)(-6)=-30；(-5)(6)=-30；任何乘以零的数都是零。例如：(-5)0=0；0(-6)=0(5)除法法则：将两个数相除，相同的符号为正，不同的符号为负，并除以绝对值。(9)(-3)=-3；(-9)(3)=-3；(-9)(-3)=3；(9)(3)=3；特殊：零除以一个非零数字仍然为零，零不能是除数。例如：0(-5)=0；0(5)=0；除法法则也可以理解为：除以一个非零数等于乘以这个数的倒数。例如：将几个非零因子相乘并除。产品的标志由负面因素的数量决定。如果有奇怪的负面因素，产品就是负面的。即使有负面因素，产品也是负面的积极点。如果几个因子相乘，如果一个因子为0，则结果等于0。注：有理数的乘法和除法仍然类似于加法和减法。应该先确定然后。能灵活运用乘法和计算法则进行简单运算：分配法则：(2)联合法则：(3)交换法则。有理数的幂：幂是寻找几个因子的乘积的运算。公式：其中a被称为，n被称为，an被称为。当n=1时，省略并且不写。注意：正数的任何幂都是正数；任何0的幂都是0；负数的奇数次方是负数，负数的偶数次方是正数，即：当a 0时，为0；当a0、a2n 0或a2n 1 0。当a都是有理数时，a2n 0，即a2n是一个数(其中n是正整数)。有理数的混合运算序列：先乘，然后乘和除，然后加和减；对等操作从左到右执行；如果有圆括号，先做圆括号里的操作。(通常，按照小括号、中括号和大括号的顺序进行)8.特殊数字知识点：相反的数字是它自己的数字是0；绝对值本身是零并且是正数；绝对值相反的数为零且为负。倒数是它自己的数字。是-1，1；平方等于自身的数是0，1；立方数本身等于0，-1，1；平方等于相反数的数是0，-1；立方等于相反数的数是0；奇数的幂等于它自己的数是0，-1；等于自身的偶数幂的个数是0，1；任何正整数幂等于自身的数是0，1。9.科学记数法、近似数和有效数(1)一般来说，绝对值大于或等于10的数可以记为a10n，其中1 a 10，n等于原数的整数减1。这种计数方法在科学技术中常用，习惯上称为科学计数。例如：=1.3109。(2)近似数：接近实际的数。准确性表示近似数字和精确数字之间的接近程度。判断一个相似数字的准确性是看这个一个数字的最高有效数字正好是哪个数字。具有计数单位的类似数字的准确性取决于该单位之前的数字。单词的最后一个数字是恢复数字的哪个数字；科学记数法还取决于A中最后一位是正确的。哪一个？按要求取近似值是为了舍入所需精度的下一个数字，当所需精度高于一个数字时在近似之前，它应该被转换成科学符号，例如，(精确到百万位)应该=3.5781073.6107。(3)有效数字：从左边第一个不是0的数字到精确的数字，所有的数字都称为这个数字的有效数字。科学计算的类比：“A”中的有效数；有数量单位的近似数字只看该数字在该单位之前的有效数字。例如，0.01234精确到第100个百分点，并且有四个有效数字：1、2、3和426，000精确到100位，有三个有效数字：2，6，07.8105精确到10，000位数，有两个有效数字：7和8误差=近似值-精确值有理数检查中心透析测试地点1:有理数的概念例1(1)如果100元的收入记为100元，那么50元的支出记为_ _ _ _ _ _。(2)今年2月最低气温为-5，最高气温为13，因此当天最高气温高于最低气温A.-18；b . 18；c . 13；D.5。(3)在下列数字中，负数是()A.-(-3)；b .-|-3 |；c .(-3)2；D.-(-3)3 .解说：解决这类问题的关键是澄清有理数的分类以及各种数的概念和本质特征。不要被它们的外表所迷惑，特别要注意带有负号的数字不一定是负数。测试地点2:数轴，相反的数字，倒计时例2 (1)图中的数字是四个学生画的数轴，正确的是()(2)-的倒数是()A.3b .-3；c .d。(3)如果A和4是相反的，那么a=。如果A=-13，那么-A=_ _ _ _；-5的反数是；-(-8)是相反的数字；-(-6)=a的反数是(4)假设A和B是相反的数，C和D是倒数，X的绝对值等于1，求A B X2-CDX的值。分析：通过研究反数、倒数和绝对值的概念，我们知道，从|x|=1中，A B=0，cd=1，x=1。当x=1时，原始公式=0 12-11=0；当x=-1时，原始公式=0 (1) 2-1 (-1)=2。所以b x2-cdx的值是0或2。注释：(1)要找到一个数的相反数，关键是要准确地掌握相反数的概念：只有两个符号不同的数称为相反数。如果A和B是相互相反的数，a b=0。(2)要找到一个数的倒数，关键是要澄清倒数的概念：乘积为1的两个数称为互倒数。如果A和B互为倒数，ab=1。测试点3:绝对值的计算例3(1)-(8)的值是。(2)如果|a-1|=5已知，则a的值为()A.6b .-4；C.6或-4；d-6或4。(3)如果已知(x2)2和| y 3 |是相互相反的数，则yx=1。(4)如果是，注释：(1)绝对值是指代表这个数的点和原点之间的距离。也就是说，| a |不是负数，也就是说，| a |0。(2)有两个数的绝对值等于一个正数，并且它们是彼此相反的数。(3)如果几个数的绝对值之和等于0，那么每个数等于0。测试点4:有理数的比较例4 (1)在3个数1，-1，-2中，任意两个数之和的最大值是()A.1B.0。c-1；d-3。(2)实数A和B如图所示显示在数轴上。以下判断是正确的()0a-1ba . a . 0。B.a 1。c . b-1；D.b - 1。(3)已知：| a | | b |，a 0，b 0，a，b，-a，-b按降序排列。解决方法：首先在数轴上表示a和b，然后在数轴上表示-a和-b。-ab-ba注释：(1)正数0负数；当比较两个负数的大小时，绝对值大的那个就小。(2)数轴上的两个数中，右边的那个大于左边的那个。测试点5:有理数的计算(先符号，然后计算)例5(1)计算2 -(-3)的结果是()A.-5；B.5C.1d-1。(2)计算结果(-4)(-)为()A.8b .-8；c-2；D.2 .(3)(- 4)(-)示例6(1)计算：(-100)(-20)-(3)=。(2)计算：-9 5(-6)-(4)2(-8)。(3)33=；()2=；-52=；22的平方是(4)有理数的运算(-5)3-3 补充1:学习小组的数学成绩分为80个等级。高于80级的记录为阳性，低于80级的记录为阴性。现有10名学生的分数记录如下：20，-10，-5，15，9，-3，10，8，4，-16。计算这10名学生的平均分数。解决方法：方法1:首先，得到10个学生的实际分数：100，70，75，95，89，77，90，88，84，66平均得分=(100 70 75 95 89 77 90 88 84 66)=83.2方法2:平均得分=80 (20-10-5 15 9-3 10 8 4-16)=83.2补充2:已知A数的绝对值是