福大《博弈论》期中考试试卷及参考答案

2011级经济学专业（1-2班）博弈论期中考试试卷（开卷）班级 学号 姓名 成绩 题号一二三四五总得分得分答题要求：1、不能用铅笔答题，违反者按缺考处理；2、开卷考试，给足够时间答题，请认真完成考试；卷面务必保持清楚整洁，每涂改一处扣10分；3、每一道题的解务必写出完整的解题过程，没有过程，只有答案不给分；4、如果发现雷同卷，一律按零分处理。一、下面的支付矩阵表示一个两人的静态博弈。问当a、b、c、d、f、g、h之间满足什么条件时，该博弈存在严格优势策略均衡（20分）参考答案：1、严格优势策略均衡是由各博弈方的严格优势策略组成的策略组合。（2分）2、对于博弈方1，如果ae且cg，则U是相对于D的严格优势策略；如果ae且cg，则D是相对于U的严格优势策略；（3分）3、对于博弈方2，如果bd且fh则L是相对于R的严格优势策略；如果bd且fh，则R是相对于L的严格优势策略。（3分）4、上述两个博弈方各自有两种严格优势策略的相对支付情况的组合，总共可能构成四种严格优势策略均衡：（12分）1）如果ae且cg，bd且fh，严格优势策略均衡是（U，L）2）如果ae且cg，bd且fh，严格优势策略均衡是（U，R）3）如果ae且cg，bd且fh，严格优势策略均衡是（D，L）4）如果ae且cg，bd且fh，严格优势策略均衡是（D，R）（在求解本题时，如果前面三点没有写，但这四条都能写出来，可以按每条5分计算，共20分）二、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况是双方都知道的。请问：（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的所有Nash均衡及博弈的结果（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的均衡解。（共30分）参考答案（1）动态博弈、完全信息的动态博弈、完全且完美信息的动态博弈（2分）该博弈的博弈树是：（2分）用以下两种方法可求出该博弈的所有Nash均衡（16分）方法1：该博弈共有2（22）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash均衡（偷懒，克扣，克扣)方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（偷懒，克扣，克扣) 博弈的结果：用倒推法（剪枝法）求得该博弈的结果是（偷懒，克扣）（4分）（2）静态博弈、完全信息静态博弈 （2分）该博弈的支付矩阵是：（2分）用划线法可求出该博弈的Nash均衡是（偷懒，克扣） （2分）（本题也可以用反应函数法来做）解：设工人、老板选择纯策略的概率如上图所示1）求期望支付函数U工人=40pq100p（1q）10（1p）q50（1p）（1q） =40pq100p100pq10q10pq5050p50q50pq =50p60q50U老板=40pq20p（1q）110（1p）q50（1p）（1q）=40pq20p20pq110q110pq5050p50q50pq=60q70p502）根据期望支付函数写出反应函数p=1 q=0,1q=1 p=0,13）作图4）图中交点（1,1）即该博弈的混合Nash均衡（偷懒，克扣）三、在一条狭窄的巷子里，两个年轻人骑着自行车相向而行。每人都有两个策略，即或者选择“冲过去”或者选择“避让”。如果选择“避让”，不管对方采取什么策略，他得到的收益都是0。如果其中一人采取“冲过去”的策略，如果对方采取“避让”，那么他得到的支付是9；如果对方不避让，那么他得到的支付是36。请用反应函数法求出该博弈的全部纳什均衡。（10分）参考答案 1、由所给条件可求得支付矩阵（如下图）；用划线法可求得这个博弈有两个纯策略Nash均衡（避让，冲过去）、（冲过去，避让）（2分）2、根据支付矩阵求期望支付函数；设甲、乙选择纯策略的概率如下图所示（2分）u甲=9（1p）q36（1p）（1q） =9q9pq3636p36q36pq =45pq36p45q36 =9p（5q4）45q36u乙=9p（1q）36（1p）（1q）=9p9pq3636p36q36pq =45pq36q45p36 =9q（5p4）45p363、根据期望支付函数写出反应函数（2分）甲的反应函数p=1 当q0.8p=0，1 当q0.8p=0 当q0.8乙的反应函数q=1 当p0.8q=0，1 当p0.8q=0 当p0.84、根据反应函数画反应函数曲线（2分）5、反应曲线的交点（0，1）、（1,0）、（0.8，0.8）该博弈的混合策略Nash均衡（2分）四、假定甲、乙两寡头垄断的市场需求函数是Q=12P，生产成本为零。如果两厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量，证明这是一个囚犯困境型的博弈。（20分）参考答案1）垄断产量和垄断利润的计算（5分）由于假定生产成本为零，所以利润=TRTC= TR=TR=PQ =（aQ）Q=aQQ2令=0；即a2Q=0 Q=a/2 所以q甲=a/4，q乙=a/4Q=12P P=aQ=aa/2=a/2甲= Pq甲=a/2a/4=a2/8乙= Pq乙=a/2a/4=a2/82）古诺产量和利润的计算（5分）根据已知条件P=aQ=aq1q2；c=0所以甲=Pq1=（aq1q2）q1乙=Pq2=（aq1q2）q2令甲= a2q1q2=0 乙=aq12q2=0 可求得q1=a/3 q2=a/3 Q=q1q2=P=aQ=甲=Pq1=乙=Pq2=3）如果一厂商生产垄断产量的一半，另一方生产古诺产量P=aQ=a（）=前者利润=后者利润=（5分）4）上述博弈用支付矩阵来表示就是：=0.125，0.139；0.111， 0.104,两厂商垄断产量的一半都是相对于古诺产量的严格劣势策略；所以该博弈唯一的Nash均衡，也是严格优势策略均衡，是（，），这个Nash均衡的双方的支付，显然不如双方都采用的支付，因此这个博弈是一个囚徒困境型的博弈（5分）五、考虑下述两个人玩的称为“力争上游”的卡片游戏：桌子上，面朝下放着3张卡片，分别写着1、2和3，甲先拿一张卡片，然后乙拿一张卡片，他们相互看不到对方写着的数字（但每人都清楚自己手上拿着的卡片上的数字）。现在，甲先动，他可以选择是否和乙交换卡片，如果甲选择交换，乙必须和他交换；然后乙行动，他可以选择是否和桌面上剩余的那张卡片交换。这一切做完之后，手上卡片数字小的人，输给手上卡片数字大的人1根火柴。试把这个游戏表达为序贯博弈，并求出Nash均衡和博弈的结果。（20分）参考答案：该博弈可分为6种情况（1、2各给4分，3、4、5、6各给3分）1、甲取到3，乙取到1 该博弈的博弈树是：求该博弈的Nash均衡方法1：该博弈共有2（22）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash均衡8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（不换，换，换)和（不换，不换，换)；博弈的结果是（不换，换）方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（不换，换，换)和（不换，不换，换)该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。2、甲取到3，乙取到2该博弈的博弈树是：求该博弈的Nash均衡方法1：该博弈共有2（22）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash均衡8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（不换，换，不换)和（不换，不换，换)；博弈的结果是（不换，不换）方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（不换，换，换)和（不换，不换，不换)该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，不换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。3、甲取到2，乙取到1该博弈的博弈树是：求该博弈的Nash均衡方法1：该博弈共有2（22）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash均衡8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（不换，换，换)和（不换，不换，换)；博弈的结果是（不换，换）方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（不换，换，换)和（不换，不换，换)该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，换），得到的支付是（2,3），甲输乙1根火柴。4、甲取到2，乙取到3该博弈的博弈树是：求该博弈的Nash均衡方法1：该博弈共有2（22）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash均衡8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（换，不换，换)和（换，不换，不换)；博弈的结果是（换，不换）方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（换，不换，换)和（换，不换，不换)该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（换，不换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。5、甲取到1，乙取到2该博弈的博弈树是：求该博弈的Nash均衡方法1：该博弈共有2（22）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash均衡8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（换，换，换)和（换，换，不换)方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（换，换，换)和（换，换，不换)该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（换，换），得到的支付是（2,3），甲输乙1根火柴。6、甲取到1，乙取到3该博弈的博弈树是：求该博弈的Nash均衡方法1：该博弈