空间几何体的表面积和体积公式大全

空间几何表面积和体积的完整公式一、总(表)面积(包括横向面积)1.圆柱(1)棱镜(2)气缸2.圆锥体(1)金字塔：(2)圆锥体：3.表体(1)棱镜：圆桌会议：4.范围(1)球：(2)球冠：轻微(3)缺球：轻微卷1.圆柱(1)棱镜(2)气缸2.圆锥体(1)金字塔(2)锥形3.表体(1)金字塔圆桌会议4.范围(1)球：(2)球冠：轻微(3)缺球：轻微注意：在计算侧面面积时，棱锥体和平截头体用于计算侧面的倾斜高度。圆锥和圆台的侧向面积由总线计算。三。扩展和改进1.祖Xi原则：(祖宣：祖冲之子)如果夹在两个平行平面之间的两个几何形体在任何高度的平行横截面积相等，则它们的体积相等。祖冲之和他的儿子，第一个推导出球体的体积，实现了这个原则。2.阿基米德原理：(圆柱球)圆柱形球形容器的原理：如果最大的球体安装在一个具有底面高度和直径的圆柱形容器中，球体的总面积等于圆柱体的横向面积，体积等于圆柱体的体积。分析：气缸容积：圆柱形横向面积：因此；球体体积：球体表面积：通过以上分析，我们可以得到一个非常重要的关系(如图所示)=也就是说，具有相同底部直径和高度的圆柱体体积等于具有相同底部高度的圆锥体和具有相同直径的球体体积之和3.表格体积公式公式：证明：如图所示，连接台体上下底面的中心线的纵剖面为梯形。延伸的两条边相交于一点。将表体的上底部和下底部的面积设置为高伟。很容易知道：然后根据类似三角形的性质：即：(相似比等于面积比的算术平方根)有组织的：并且因为台体的体积=大锥体体积-小锥体体积替换：获取：那就是：4.球体体积公式的推导分析：半球被分成几个平行的高度相同的层()。层越大，每层就越像圆柱体。当层平行时，每一层都可以看作一个圆柱体。这些柱子的高度是：每缸容积=半球的体积等于这些圆柱体体积的总和。半球的体积是：=当时，球的体积是：5.球体表面积公式的推导分析：球体可以被切割成几个()近似的金字塔。那时，如果这些金字塔的高度是球体半径，底部区域是球体区域，那么每个金字塔的体积和所有小金字塔体积的总和就是球体体积。有：6、正六面体(立方体)和正四面体(1)体积关系如图所示，立方体切掉四个三棱柱后，其余的是正四面体让立方体的棱柱长度为，它的体积是：在四个角上切割的每个三棱锥的体积是：中间剩余的正四面体的体积是：这样的立方体可以分成四个三角形的金字塔和一个正四面体。那就是：(2)在外面接球立方体有和它最大的正四面体一样的外接球体。(原因：确保球通过四个不共面的点。)立方体及其最大的正面体有四个公共顶点。所以他们分享球。复习：两点对齐三点曲面三点圆四点滚球设置如图所示：(a)立方对角线=球直径(b)正四面体的外接圆半径=高正四面体的棱柱长度=正立方体的棱柱长度(d)立方体体积：正四面体体积=3: 1(e)立方体外切球面的半径正四面体的外接圆半径相等。(3)立方体的内切球和正四面体之间的关系(a)立方体中内切球的直径=立方体的棱柱长度立方体的内切球与正四面体的四条边相切。(c)与正四面体的四条边相切的球体半径=正四面体边长的一半如果正四面体的边长为，则与其边相切的球的半径为有：7.用祖西原理推导球体的体积。构造一个几何形体，使它的横截面与任何地方的半球的横截面相等，并得到体积在去除锥体后，对半球体和组合体的相同横截面进行研究，圆柱体和半球体的底面半径设定为，横截面高度设定为，倒锥体的横截面半径设定为，半球体的横截面半径设定为，然后，移除锥体后组合体的截面如下：半球横截面积为：*倒圆锥底面的半径等于高度，这很容易通过类似的三角形获得：在半球，毕达哥拉斯定理很容易获得：也就是说，在去除倒锥体之后，半球在与圆柱体相同的高度处具有相同的横截面。根据祖西的原则：所以半球体积：即球体体积：8.立方体和球体(1)立方体的内切球立方体棱柱球体直径(2)立方外切球立方体对角线球体的直径(3)法律：(1)立方体的内接球和外接球的中心相同；(2)立方体的内接球和外接球的中心在立方体的对角线上；(3)正四面体的内切球和外切球的半径之比是：(4)正四面体内切球与外切球的体积比为1: 3(5)正四面体内切球和外切球的表面积比为13外切球半径、立方体棱柱长度和立方体内切球半径之比为：2:正四面体外接球、正四面体和内切球的体积比：正四面体外接球、正四面体和内切球的表面积比：9.正四面体和球体(1)正四面体的内切球解决问题的关键：通过体积关系思考从内接球体的中心到每个表面的距离是相等的，球体中心和每个顶点之间的连线只是将一个正四面体分成四个三角金字塔，每个三角金字塔的底面是原始正四面体的底面，高度是内接球体的半径。使用音量关系：所以：哪里是正四面体的高度。通过相关性计算：那就是：(2)正四面体外接球外切球的半径=(3)法律：(1)正四面体的内接球体的中心与外接球体的中心相同；(2)正四面体的内切球和外切球的中心在高线上；(3)正四面体的内切球和外切球的半径之和等于high(4)正四面体的内切球和外切球的半径之比等于1: 3(5)正四面体内切球与外切球的体积比为1: 27正四面体内切球和外切球的表面积比为1: 9正四面体的外接圆半径、正四面体的边长与内切圆半径的比值为：12:正四面体外接球、正四面体和内切球的体积比：正四面体外接球、正四面体和内切球的表面积比为：10.圆柱体和球体(1)圆柱球体(阿基米德圆柱球体模型)圆柱体高度=底部直径=球体直径球体体积=圆柱体体积球形面积=圆柱形横向面积(2)球形圆柱体球体的直径、圆柱体的高度和圆柱体底面的直径形成一个直角三角形。假设球体半径为，圆柱体高度为，底面半径为有：即：四.方法概述下面的例子说明了立体几何的学习方法例如，如果一个正四面体的边的长度是已知的，找到它的内接球体和外接球体的半径。EFOCDBA思考：首先分析球的中心位置。因为正四面体是一种特殊的四面体，很明显，内球和外球的中心是重合的。并且是正四面体的高线交点。然后分析球的中心与一些特殊点、线、面的位置和数量的关系。在内接球的情况下，球的中心垂直于每个面，到每个面的距离相等。在这种情况下，从球的中心到每个顶点的距离是相等的方法2:容量分析：(最灵活的方法)如图所示，让正四面体ABCD的内切球的中心相连正四面体被分成四个相同的三角形金字塔。假设内切球的半径为，正四面体的边长为前面四具尸体的高度是：ABB面向对象的DC那么：4个相同的三角金字塔体积=规则四面体体积有：方法3:方程分析：(最常用的方法)图：bACDO显然，AO和DO是外切球的半径，o是内切球的半径。在RtDO中，下列等式可以用刻度表示：其中：代入方程得到解：方法4:互补分析(最巧妙的思维)正四面体被补充成一个立方体用于分析。如图所示：此时，正四面体和立方体有一个共同的外接球体。如果正四面体的边长是，那么正四面体的边长是用于：立方体外接圆的直径是它的对角线。正四面体外接圆的半径是：内切球的半径是：方法5:坐标分析(意外解决方案)创建一个空间直角坐标系，如图所示：然后a (0，0，)，b (0，0)，c(，0)，d(，0)，将球的中心设置为o(，)作者：那就是：=我们可以理解，主要方法：一、理念的统一1.公式的统一对于每种几何形式的面积和体积公式，我们想找出一个适用于所有形式的通用公式，但这只是一个理想的条件，实际上是不可能的，最多只适用于一个部分。尽管如此，它只是降低了记忆公式的难度，增强了学习的灵活性。(1)梯形面积公式：也适用于三角形、平行四边形、矩形、正方形和扇形的面积计算。它只是使用时的微调。分析三角形时，上底部变为0；当分析矩形、正方形和平行四边形时，上下底部变得相同。当分析扇形时，上底部变为0，下底部变为弧长，高度为半径。(2)台体侧向面积公式：该公式也适用于圆柱体、棱柱体、圆锥体、棱锥体和球体的侧向面积计算。它只是使用时的微调。当分析圆柱体和棱柱体时，上下底部的周长变得相同。分析金字塔时，顶部和底部的周长变为0；分析圆锥体时，上底部的周长变为0，倾斜高度变为母线。在分析球体的面积时，最大圆的周长作为上下底，直径作为上底，即：(3)表体的体积公式：也适用于圆柱体、棱柱体、圆锥体、棱锥体和球体的体积计算。它只是使用时的微调。当分析圆柱体和棱柱体时，上下底部区域变得相同。分析金字塔时，顶部和底部的面积变为0；分析圆锥体时，上底部的面积变为0；在分析球体的体积时，上底部的面积取为0，下底部的面积取为最大圆面积的2倍，直径取为高，即：2.字母的统一在分析中，字母一般应该统一，以便于比较！3.关系的统一注意相似的关系：面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。球体、立方体和正多面体是相似的！第二，改变观念1.平面和实体之间的转换这是立体几何的一个重要思想，即把立体问题交给平面去解决。然而，它必须在一个特殊的平面上进行，有时平面和平面之间的关系必须用线和线来分析。例如，当研究二面角的大小时，通常使用垂直于两条边的交线的直线进行分析。不同