山东潍坊高三数学期末测试理

山东省潍坊市2019届高三数学上学期期末测试试卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本道题计算集合A的范围,结合集合交集运算性质,即可.【详解】,所以,故选D.【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,难度较小.2.已知函数为奇函数，且当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题结合奇函数满足,计算结果,即可.【详解】,故选C.【点睛】本道题考查了奇函数的性质,难度较小.3.若cos(+2)=33，则cos2=（ ）A. 23 B. 13 C. 13 D. 23【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出sin,结合cos2=12sin2,即可.【详解】cos+2=sin=33,得到sin=33,所以cos2=12sin2=1213=13,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.4.双曲线C：x29y216=(0)，当变化时，以下说法正确的是（ ）A. 焦点坐标不变 B. 顶点坐标不变 C. 渐近线不变 D. 离心率不变【答案】C【解析】【分析】本道题结合双曲线的基本性质，即可。【详解】当由正数变成复数,则焦点由x轴转入y轴，故A错误。顶点坐标和离心率都会随改变而变，故B,D错误。该双曲线渐近线方程为y=43x，不会随改变而改变，故选C。【点睛】本道题考查了双曲线基本性质，可通过代入特殊值计算，即可。难度中等。5.若实数x，y满足xy0,x+y20,3xy+20,，则z=x2y的最大值是（ ）A. 2 B. 1 C. 1 D. 4【答案】B【解析】【分析】结合不等式，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可。【详解】结合不等式组，建立可行域，如图图中围成的封闭三角形即为可行域，将z=x2y转化成y=12x12z从虚线处平移，要计算z的最大值，即可计算该直线截距最小值，当该直线平移到A(-1,-1)点时候，z最小，计算出z=1,故选B。【点睛】本道题考查了线性规划计算最优解问题，难度中等。6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 主视图 左视图 俯视图A. 803 B. 16 C. 403 D. 325【答案】C【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到是一个四棱柱去掉了一个角，如图该几何体体积V=2241222134=403，故选C.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较大。7.若将函数y=12sin2x的图象向右平移6个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（ ）A. 12+k,512+k (kZ) B. 6+k,3+ (kZ)C. 512+k,1112+k (kZ) D. 6+k,56+k (kZ)【答案】A【解析】【分析】结合左加右减，得到新函数解析式，结合正弦函数的性质，计算单调区间，即可。【详解】结合左加右减原则y=12sin2x6=12sin2x3单调增区间满足2+2k2x32+2k,12+kx512+k，故选A。【点睛】本道题考查了正弦函数平移及其性质，难度中等。8.已知函数f(x)=,x0log2x,x0,则不等式f(x)1的解集为（ ）A. (-,12 B. (-,02,+) C. 0,122,+) D. (-,122,+)【答案】D【解析】【分析】将fx的解析式代入不等式，计算x的范围，即可。【详解】当x0，fx满足条件，解不等式log2x1，解得log2x1或log2x1解得x2或x12，所以解集为,122,+，故选D。【点睛】本道题考查了对数函数不等式计算方法，难度中等。9.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用，四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线围城的各区域上分别标有数字，的四色地图符合四色定理，区域和区域标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A. 115 B. 110 C. 13 D. 1130【答案】C【解析】【分析】令B为1，结合古典概型计算公式，得到概率值，即可。【详解】A,B只能有一个可能为1，题目求最大，令B为1，则总数有30个，1号有10个，则概率为13，故选C。【点睛】本道题考查了古典概型计算公式，难度较小。10.已知抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点，A(1,1)，当PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为（ ）A. 43 B. 34 C. 34 D. 43【答案】A【解析】【分析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可。【详解】结合题意，绘制图像要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以PF+PA=PA+PNANAG，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为14,1，所以斜率为k=10141=43，故选A。【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等。11.由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522-2010）于2011年7月1日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表示的函数模型f(x)=40sin(3x)+13,0x290e0.5x+14,x2，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln152.71，ln303.40）驾驶行为类型阀值(mg/100mL)饮酒后驾车20，0代入原式,得到t2t1=0或t2t3=0,解得两个方程各有一个根,故正确;2号建立方程4x2x2=0,解得x=1,所以fx为偶函数,而fx+2=fx=fx,f1=f3=1,故不止一个实根,故错误.3号fx=0,解得x=2，0,-2.-4,.而令t=2x，故gx的范围为94gx10，因而gx=2,0,2,4,6,8,10，一共有七个根，故正确。4选项当x1,0，gx0，而当x0,1,gx0，根本就不存在这样的点，故错误。【点睛】本道题考查了二次函数的性质和偶函数的性质，难度较大。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量a=(3,2)，b=(1,1)，若(a+b)a，则实数=_【答案】13【解析】【分析】结合向量垂直满足数量积为0，计算的值，即可。【详解】a+b=3+,2,因而33+22=0，则=13【点睛】本道题考查了向量垂直的坐标表示，难度较小。14.二项式(x2+x)5的展开式中，x7的系数为_（用数字填写答案）【答案】10【解析】【分析】本道题利用二项式系数Cnranrbr,代入,计算,即可.【详解】利用二项式系数公式Tr+1=C5rx25rxr2=C5rx1032r,故x7的系数为1032r=7,r=2,所以为C52=10【点睛】本道题考查了二项式系数公式,难度较小.15.已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为_【答案】80【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。【详解】设球半径为R，球心O到上表面距离为x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式22+x2=42+6x2，解得x=4，所以半径R2=x2+22=20因而表面积S=4R2=80【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。16.锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为，b，.若a2c2=bc，则1tanC1tanA的取值范围是_【答案】(1,233)【解析】【分析】本道题结合余弦定理处理a2c2=bc,结合锐角这一条件,计算出角A的大小,化简1tanC1tanA,计算范围,即可.【详解】运用余弦定理,a2=b2+c22bccosA,代入a2c2=bc,得到b2ccosA=c,结合正弦定理,可得2sinB2sinCcosA=sinC所以sinAC=sinC,而0AC2,所以AC=C,A=2C而2A+C=3C,解得6C3,所以3A21tanC1tanA=cosCsinCcosAsinA=1sinA,而32sinA1所以1tanC1tanA1,233【点睛】本道题考查了余弦定理和三角值化简,难度较大.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列an的前n项和为Sn，且2，an，Sn成等差数列.（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足bn=log2a1+log2a2+log2an，求数列的1bn前n项和Tn.【答案】（1）Sn=2an2（2）2nn+1【解析】【分析】(1)利用an=SnSn1,计算通项,即可.(2)将数列an通项代入,利用裂项相消法,即可.【详解】解：（1）因为2，an，Sn成等差数列，所以2an=Sn+2，当n=1时，2a1=a1+2，所以a1=2，当n2时，Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，两式相减得an=2an-2an-1，所以anan-1=2，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n.（2）bn=log2a1+log2a2+log2an=1+2+n=n(n+1)2，所以1bn=2n(n+1) =2(1n-1n+1)，所以Tn=1b1+1b2+1bn=2(1-12)+(12-13)+ +(1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+1.【点睛】本道题考查了等比数列通项计算方法以及裂项相消法,难度中等.18.如图，正方形CDEF所在平面与等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB/CD，AB=2AD，BAD=60.（1）求证：平面ADE平面BDE；（2）求平面ABF与平面BCE所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）217【解析】【分析】(1)分别证明BD垂直DE和AD,结合直线与平面垂直判定,即可.(2)建立坐标系,分别计算两个平面的法向量,结合向量数量积公式,即可.【详解】证明：（1）因为平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCD=CD，DECD，所以DE平面ABCD，所以DEBD.在ABD中，AB=2AD，BAD=60，由余弦定理可得BD=3AD，所以AB2=AD2+BD2，所以ADB=90，即BDAD，又因为AD平面ADE，DE平面ADE，ADDE=D，所以BD平面ADE，又因为BD平面BDE，所以平面ADE平面BDE.（2）因为四边形ABCD是等腰梯形，BAD=60，又由（1）知ADB=90，所以CBD=CDB=30，所以AD=BC=CD.以D为坐标原点，分别以DA，DB，DE所在直线作为x轴，y轴，轴建立如图所示的坐标系，设AD=1，则DB=3，可得A(1,0,0)，B(0,3,0)，由CD=CB，CBD=CDB=30，可得，C(-12,32,0)，由此可得F(-12,32,1)，AF=(-32,32,1)，BF=(-12,-32,1)，设平面ABF的法向量为n=(x,y,z)，则AFn=0BFn=0，可得-32x+32y+z=0-12x-32y+z=0，令z=1，则x=1，y=33，所以n=(1,33,1)，由（1）知，DADB，DADE，所以DA=(1,0,0)是平面BDE的一个法向量.cos=nDAnDA =111+13+1=217.所以所求锐二面角的余弦值为217.【点睛】本道题考查了直线与平面垂直判定和二面角计算方法,难度中等.19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 (ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的长轴长与焦距之比为2:1，过F2(3,0)的直线与C交于A，B两点.（1）当的斜率为1时，求F1AB的面积；（2）当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线的方程.【答案】（1）12（2）x+2y3=0【解析】【分析】（1）结合椭圆性质，得到椭圆方程，联解直线与椭圆方程，结合SF1AB=12F1F2y1-y2，计算面积，即可。（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用kDHkAB=-1，建立关于k，m的式子，计算最值，即可。【详解】解：（1）依题意，因2a2c=21，又c=3，得a=32，b2=9所以椭圆C的方程为x218+y29=1，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，当k=1时，直线：y=x-3将直线与椭圆方程联立x218+y29=1y=x-3，消去x得，y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1，y1-y2=4，所以SF1AB=12F1F2y1-y2 =1264=12.（2）设直线的斜率为k，由题意可知k0恒成立，x1+x2=12k21+2k2，设线段AB的中点，设线段的中点H(x0,y0)，则x0=x1+y22=6k21+2k2，y0=k(x0-3)=-3k1+2k2，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D(0,m)，则kDHkAB=-1，得-3k1+2k2-m6k21+2k2.k=-1，整理得：m(2k2+1)=3k，m=3k2k2+1=32k+1k -324，等号成立时k=-22.故当截距m最小为-324时，k=-22，此时直线的方程为x+2y-3=0.【点睛】本道题注意考查了直线与椭圆位置关系等综合性问题，难度较大。20.某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：分组频数频率25.0525.1520.0225.1525.2525.2525.351825.3525.4525.4525.5525.5525.65100.125.6525.7530.03合计1001（1）求，b；（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在25.15,25.35或25.45,25.75为合格，钢管内径尺寸在25.35,25.45为优等.钢管的检测费用为2元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布.（i）若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数X的分布列和数学期望；（ii）已知这批钢管共有m(m100)根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/根售出；第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根. 请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由.【答案】（1）a=3,b=1.8（2）（i）分布列见解析，期望为0.9（ii）当m750时，按第一种方案，m=750时，第一、二种方案均可， 100m750时，y1y2，则按第一种方案，若m=750时，y1=y2，则第一、第二方案均可，若100m750时，y1750时，按第一种方案，m=750时，第一、二种方案均可，100m750时，按第二种方案.【点睛】本道题考查了离散型随机变量分布列，难度中等。21.已知f(x)=asinx(aR)，g(x)=ex.（1）若0a1，判断函数G(x)=f(1x)+lnx在(0,1)的单调性； （2）证明：sin122+sin132+sin142+ +sin1(n+1)20，m0恒成立，求k的最小值. 【答案】（1）G(x)在(0,1)单调递增（2）见解析（3）2【解析】【分析】(1)计算Gx导函数,结合导函数与原函数单调性关系,即可.(2)利用sin(1-x)ln1x,得到sin1(1+k)21，而acos(1-x)1，所以G(x)0，故G(x)在(0,1)单调递增.（2）由（1）可知a=1时，G(x)G(1)=0， 即sin(1-x)ln1x，设1-x=1(1+k)2，则x=1-1(1+k)2=k(k+2)(1+k)2因此sin1(1+k)2ln(1+k)2k(k+2) =ln1+kk-lnk+2k+1即sin122+sin132+sin1(n+1)2 ln2