数学人教必修4A三角函数的图象与性质

三角函数的图像和性质一、课程要求：1.可以画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图像来理解三角函数的周期性；2.了解正弦函数和余弦函数在0，2上的性质，正切函数在(-/2，/2)上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与X轴的交点等)。)通过图像的方式；3.通过具体的例子，理解y=Asin(wx )的实际意义；借助于计算器或计算机可以画出y=Asin(wx )的图像，并观察参数a、w、对函数图像变化的影响。二。命题趋势近年来，高考降低了对三角变换的考试要求，加强了对三角函数的图像和性质的考试。因为函数的性质是函数研究的重要组成部分，是学习高等数学和应用技术的基础，是解决生产中实际问题的工具，所以三角函数的性质是本章的重点。在复习中，我们应该充分利用数形结合的思想，把图像和属性结合起来。也就是说，我们应该用图像的直觉来获得函数的性质，或者用单位圆上的线段表示的三角函数值来获得函数的性质。同时，我们也应该利用函数的性质来描述函数的图像。这不仅有利于掌握函数的图像和性质，而且可以巧妙地运用数形结合的思想。据预测，2007年NMET将检查这一讲座的内容如下：1.问题是1个选择题(评价或图像转换)和1个解答题(评价或图像转换)；2.热点问题是三角函数的图像和性质，特别是y=Asin(wx )的图像及其变换；三。要点1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图像2.三角函数的单调区间；的递增间隔是，递减间隔为：的递增间隔是，递减间隔是，的递增间隔是，3.功能最大值为，最小值为，周期为，频率为，相位为，初始相位为；图像的对称轴是一条直线，图像和直线的交点是图像的对称中心。4.通常有两种方法可以将y=sin ( x)的图像与y=sinx的图像进行转换。只有区分这两种方式，才能灵活地转换图像。当使用图像转换作为图像时，建议首先进行转换，然后进行扩展和收缩。但是，无论先膨胀后收缩后频繁发生何种变形，请记住，每次变形都是针对字母X的，也就是说，图像变形取决于“变量”的变化程度，而不是“角度”的变化程度。方法1:平移变换和周期变换(伸缩变换)y=sinx的图像首先向左( 0)或向右( 0)，从而获得y=sinx)的图像。路径2:周期性变换(伸缩变换)，然后平移变换。首先，y=sinx图像上每个点的横坐标变为原始时间( 0)，然后向左( 0)或向右(0=沿x轴的移位单位)以获得y=sin ( x)。5.从y=asin ( x)的图像中找出函数式：给定图像确定解析公式y=Asin(x)的问题类型，有时使用“五点”的第一个零点(-，0)作为突破点，以从图像的提升情况中找到第一个零点的位置。6.对称轴和对称中心：的对称轴是，对称中心是；的对称轴是，对称中心是；对于和，对称中心与零点相关，对称轴与最大点相关。7.寻找三角函数的单调区间：通常，函数表达式首先被转换成基本三角函数的标准表达式。应特别注意A和A的正和负单调三角函数，它们通常被转换成具有相同名称和相同单调区间的函数。8.求三角函数周期的常用方法：在不断变形为“，”的形式后，使用了周期公式，并且有als例2。(上海，2002，15)函数y=x sin|x|，x -，的近似图像是()分析：根据奇偶性的定义，函数y=x sin|x|，x -，是非奇非偶函数。选项A和D是奇数函数，B是偶数函数，C是非奇数和非偶数函数。点评：利用函数的性质来刻画函数的形象，不仅有利于掌握函数的形象和性质，而且可以巧妙地运用数形结合的思维方法。问题2:三角函数图像的变换例3。尝试描述如何从y=sin(2x)的图像中获得y=sinx的图像。分辨率：y=sin(2x)另一个答案是：(1)首先，y=sin(2x)的图像向右移动单位，以获得y=sin2x的图像；(2)将y=sin2x上每个点的横坐标放大到原始横坐标的2倍(纵坐标保持不变)，以获得y=sinx的图像；(3)y=sinx图像可以通过将y=sinx图像上每个点的纵坐标放大到原始图像的3倍(横坐标不变)来获得。例4。(上海春天2003，15)曲线YCO SX 2Y-1=0首先沿X轴向右移动一个单位，然后沿Y轴向下移动一个单位。得到的曲线方程为()A.(1-y)sinx 2y-3=0(y-1)sinx 2y-3=0C.(y 1)sinx 2y 1=0 D.-(y 1)sinx 2y 1=0分析：原始方程被排序为：y=，因为原始曲线将被分别向右和向下移动一个单位和一个单位，所以y=-1被获得为期望的方程。排序后的(y=-1) sinx2y 1=0。备注：本主题检查曲线转换的基本方法和三角函数中的归纳公式。如果你对翻译有深刻的理解，你可以直接把它转换成：(y1) cos (x-) 2 (y1)-1=0，从而得到c选项。问题3:三角函数图像的应用例5。众所周知，电流I和时间T之间的关系是。(1)右图为( 0，)根据图中的数据计算一个周期内的图像。的分析表达式；(2)如果T能在任何一秒内得到电流的最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？对：本书的分析主要考察基础知识，如三角函数的图像和性质，以及计算和逻辑推理的能力。(1)从图中可以看出A=300。让T1=-，T2=，那么周期t=2 (T2-t1)=2 ()=。 =150.当t再次=时，I=0，即sin (150 )=0。还有，8756；=。因此，所需的分析表达式为。(2)根据题目，周期T,即，(0) 300 942，N*，因此，最小正整数=943。注释：的答案的起点是将图形语言转换成符号语言。其中，阅读、识别和使用图形是组合形式和数字的有效方法。数字例6。(1)(上海春天2003，18)已知函数f(x)=Asin(x )(A0，0，xR)在一个周期内的图像如图所示，并且获得直线y=与函数f(x)的图像的所有交点的坐标。分析：根据图像A=2，t=-(-)=4，=,y=2sin()，从图像are-,-=-,=获得的相移。也就是说，y=2sin(x)。根据条件=2sin()， 2k (k z)或=2k (k z)，x=4k (kZ)或x=4k (kZ)。所有交点坐标都是(4k)或(4k )(kZ)。备注：本主题主要考查三角函数的基础知识，考查逻辑思维能力，以及分析和解决问题的能力。(2)(2002国家第5条，原则4)在(0，2)范围内，x为sinxcosx的取值范围为()A.(，)()，b .(，)C.(，)d(，)(，)分析：c；解决方案1:在(0，2)区间内制作正弦和余弦函数的图像，并求解两个交点的横坐标之和。答案c可以从图1中获得。图1图2解决方案2:在单位圆上做第一个和第三个象限的对角线，并知道应该从正弦和余弦线中选择哪个C。(图2)问题4:三角函数的域和范围例7。(1)已知f(x)的域是0，1，并且计算f(cosx)的域。(2)找到函数y=lgsin(cosx)的域；分析：找出函数的域：(1)使0cosx1，(2)使sin (cosx) 0，cosx取其值为角度。分析：(1) 0 cosx 12k- x 2k，x2k(kZ)。函数的定义域是x | x 2k-，2k和x2k，kZ。(2)来自sin (cosx) 02k cosx 2k (k z)。且1cosx1，8756；0 cosx 1。因此，要确定的域是x | x (2k-，2k)，kZ。注释：要找到三角函数的定义域，有两种常用的方法来求解三角不等式：一种是图像法，另一种是三角函数线法。例8。(景春，2003，