山东聊城第一中学高三数学上学期期中试卷文

山东省聊城市第一中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则M的非空子集的个数是（ ）A. 15 B. 16 C. 7 D. 8【答案】C【解析】【分析】先把集合M的所有元素求出，再求其非空子集.【详解】,所以的非空子集为共7个，故选C.【点睛】本题主要考查集合的子集求解.可以采用列举法，也可以采用公式，集合若有个元素，则的子集个数为个，非空子集的个数为个.2.“p且q是真命题”是“非p为假命题”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由p且q是真命题，则得p和q都是真命题，能得出“非p为假命题”；“非p为假命题”，得出p为真命题，但是得不出“p且q是真命题”，所以选A考点：本题考查命题的真假判断，以及充分条件、必要条件、充要条件点评：解决本题的关键是掌握复合命题的真值表，记住充分条件、必要条件、充要条件的概念3. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定【答案】C【解析】试题分析：不妨设ABC为直角三角形，C=90，则a2+b2=c2，设三边增加的长度为m(m0)，则新三角形ABC的三边长度分别为a+m,b+m,c+m，则cosC=(a+m)2+(b+m)2(c+m)22(a+m)(b+m)，而(a+m)2+(b+m)2(c+m)2=2(a+bc)m+m20，所以cosC0，因此新三角形为锐角三角形.考点：余弦定理.【此处有视频，请去附件查看】4.函数f(x)=sinx+2xf(3),f(x)为f(x)的导函数，令a=12,b=log32,则下列关系正确的是( )A. f(a)f(b) C. f(a)f(b) D. f(|a|)log33=12=a，所以f(a)f(b),故选B.【点睛】本题主要考查导数的应用.利用导数判断函数单调性，结合单调性来比较函数值的大小.5.在封闭的正三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若AB6，AA14，则V的最大值是（ ）A. 16 B. 323 C. 12 D. 43【答案】D【解析】【分析】先利用正三棱柱的特征，确定球半径的最大值，再利用球的体积公式求解.【详解】正三角形ABC的边长为6，其内切圆的半径为r=30,则f（2019）的值为（ ）A. 2 B. 1 C. 2 D. 0【答案】D【解析】【分析】先根据函数解析式求解出周期，利用周期求值.【详解】x0时，f(x)=f(x1)f(x2)，f(x1)=f(x2)f(x3)，两式相加可得f(x)=f(x3)，所以周期为6.f(2019)=f(3)=f(2)f(1)=f(0)=log21=0,故选D.【点睛】本题主要考查利用函数的周期求值.先利用周期把所求化到已知区间，再代入对应的解析式即可.8.九章算术涉及到中国古代算数中的一种几何体-阳马，它是底面为矩形，两个侧面与底面垂直的四棱锥，已知网格纸上小正方形的边长为1，现有一体积为4的阳马，则该阳马对应的三视图（用粗实线画出）可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直及体积为4，对选项逐一判断即可.【详解】由三视图可知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，B、D对应的几何体不符合阳马的特点，A对应的阳马体积不是4，C对应的阳马体积是4，故选C.【点睛】本题考查了由三视图还原几何体的问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键，考查了空间想象能力与运算求解能力.9.是数列的前项和,若 则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用an+Sn=2n求出递推公式，根据递推公式求解.【详解】当n=1时，a1=1；当n2时，an-1+Sn-1=2n-1，两式相减可得，2an-an-1=2n-1.所以(2a2-a1)(2a3-a2)(2a100-a99)= 2an-an-1=222299=21+2+99=24950,故选A.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解. 题目条件给出的an,Sn的关系式，可以通过an=S1,n=1SnSn1,n2转化为只含an的关系式.10.已知sin(122)=33, 则sin(2+6)= （ ）A. 710 B. 710 C. 79 D. 79【答案】C【解析】【分析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】cos(6)=12sin2(122)=13,sin(2+6)=cos2(2+6)=cos(32) =2cos2(6)1=79,故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11.已知F1，F2是双曲线x2a2y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，若点F1关于双曲线渐近线的对称点P满足OPF2POF2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A. 5 B. 2 C. 3 D. 2【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点P的坐标，结合OPF2POF2可知PF2=c，利用两点间距离公式可求得离心率.【详解】设P(x0,y0)是F1关于渐近线y=bax的对称点，则有y0x0+c=aby02=bax0c2；解得P(b2a2c,2abc)；因为OPF2POF2，所以PF2=c，(b2a2cc)2+(2abc)2=c2；化简可得e=2，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求a,b,c之间的关系式.12.若函数f(x)=52lnx+1axax1在(1,2)上为增函数，则的取值范围为（ ）A. (,0)14,2 B. (,0)12,1 C. 1,0)(0,14 D. 1,0)12,1【答案】B【解析】【分析】利用fx=52x+1-1ax+12-a0对x(0,1)恒成立，令x+1=t(1t0时，g1=a-52+1a0g2=4a-5+1a0解得12a1.当a0时，g(0)=1a0，-522a=54a0，gx0对x(1,2)恒成立.综上，的取值范围为(-,0)12,1.故选B.【点睛】本题是个中档题主要考查用导数法研究函数的单调性，其基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好的考查了学生的计算能力第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上. 13.若向量a=n,1与b=4,n共线且方向相同，则n=_【答案】2【解析】【分析】向量共线可得坐标分量之间的关系式，从而求得n.【详解】因为向量a=n,1与b=4,n共线，所以n2=4；由两者方向相同可得n=2.【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示，熟记共线向量的充要条件是求解关键.14.已知复数z=2i-1,给出下列几个结论: |z|=2 ; z2=2i;的共轭复数为z=-1+i;的虚部为-i.其中正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】先化简复数z=2i-1，再进行判断.【详解】z=2i1=2(i+1)(i1)(i+1)=1i；z=2，故错误；z2=(1i)2=2i，故正确；z=1+i，故正确；的虚部为1，故错误.故填.【点睛】本题主要考查复数的运算，模长的求解等，熟知复数的运算法则是解决这类问题的关键.15.已知实数x，y满足条件xy0，x+y40，tan0，tan+tan=1-tantan2tantan，令tantan=m，则m2+2m-10，0m-1+2，即0tantan3-22，当且仅当=8时取等号，tantan的最大值时3-22.故填：3-22【点睛】本题考查了基本不等式的应用，涉及了两角和的正切公式等知识，应用了换元转化法求解；利用基本不等式求最值时，必须同时满足三个条件“一正，二定，三相等”.三、 解答题：本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知fx=ab-1，其中向量a=(sin2x,2cosx),b=(3,cosx),(xR).（1）求fx的最小正周期和最小值；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、，若fA4=3，a=13，b=4，求边长的值.【答案】（1）最小正周期为，最小值为-2； （2）c =1或c=3.【解析】【分析】（1）先利用向量数量积的坐标表示求出f(x)的表达式，再求解周期和最值.（2）先求角A，再利用余弦定理求出c.【详解】(1) f(x)=(sin2x,2cosx)(3,cosx)-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x6）,f(x)的最小正周期为，最小值为-2.(2) f(A4)=2sin（A26）=3sin（A26）32,A263或23 A3或A= （舍去）,由余弦定理得a2b2c22bccosA,即1316c2-4c,即c2-4c+3=0, 从而c =1或c=3.【点睛】本题主要考查三角函数的性质和余弦定理求解三角形.三角函数的性质求解，一般是先化简解析式，再进行求解.18.设f（x）|xa|xa|，当a=12时，不等式f（x）2的解集为M；当a=14时，不等式f（x）1的解集为P（1）求M，P；（2）证明：当mM，nP时，|m2n|12mn|【答案】（1）M=x|-1x1,P=x12x12； （2）见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论法去掉绝对值，再求解一元不等式；（2）利用作差比较法可以证明.【详解】（1）解：当a=12时，f(x)=x+12+x-12=-2x，x12，结合图象知，不等式f(x)2的解集M=x|-1x1， 同理可得，当a=14时，不等式f(x)1的解集P=x-12x12 （2）证明：mM，nP，-1m1，-12n12，m21，4n21， (m+2n)2-(1+2mn)2=m2+4n2-4m2n2-1=(m2-1)(1-4n2)0，(m+2n)2(1+2mn)2，即|m+2n|1+2mn|【点睛】本题主要考查含有绝对值的不等式的解法，一般是利用零点分段讨论法求解；不等式的证明常用比较法处理. 19.如图，在四棱锥PABCD中，平面PCD平面ABCD，AB=AD=12CD=1，BADCDA90，PC=PD=2（1）求证：平面PAD平面PBC；（2）求直线PB与平面PAD所成的角；（3）在棱PC上是否存在一点E使得直线BE/平面PAD，若存在求PE的长，并证明你的结论【答案】（1）见解析； （2）300； （3）存在E为PC中点,即PE=22 满足条件.【解析】【分析】（1）先证PC平面PAD；（2）作出直线PB与平面PAD所成的角，再求出角的正切值，从而可得角；（3）先假设存在，确定点的位置，再求出长度.【详解】证明(1)因为BADCDA90，所以AB/CD,四边形ABCD为直角梯形,CD=2又PC=PD=2满足PC2+PD2=CD2 PDPC 又ADCD,ADPAD,平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD, AD平面PCD 又PC平面PBC ,ADPCPDPC,PDPA=点A,PD,PA平面PADPC平面PAD,PC平面PBC所以平面PAD平面PBC. (2)取CD的中点H，连接BH,PH,作HG PD于G，如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12CD=1，BADCDA90，所以ABHD为正方形，所以BHCD；因为平面PCD平面ABCD，平面PCD 平面ABCD=CD，所以BH平面PCD；所以BHP=90.因为PH=BH=1，所以PB=2；在直角三角形PHD中，PHDH=PDHG，所以HG=22.又BH/AD，所以BH/平面PAD，所以B到平面PAD的距离等于HG=22；设直线PB与平面PAD所成的角为，则sin=12，即直线PB与平面PAD所成的角为30.(3)存在E为PC中点,即PE=22 满足条件,证明如下：取PD中点F，连接EF,AF.如图，因为E,F分别是PC,PD的中点，所以EF/CD且EF=12CD.所以EF/AB且EF=AB，即ABEF为平行四边形，所以BE/AF;因为BE平面PAD，AF平面PAD，所以BE/平面PAD.此时PE=22.【点睛】本题主要考查空间中的位置关系和线面角的求解.熟记位置关系的判定定理是解题关键；线面角的求解主要有定义法和向量法.20.已知数列an满足a1=1, an+1=3Sn ,其中Sn为an的前n项和,数列bn满足bn=log2a2n3 （1）求数列an的通项公式及Sn ;（2）证明:1b2b3+1b3b4+1b4b5+1bn+1bn+2116【答案】（1） an=1,n=134n2,n2 ,Sn=4n1 ； （2）见解析.【解析】【分析】（1）利用条件an+1=3Sn可以求得通项公式；（2）利用裂项相消法可以证得结论.【详解】（1）由已知n2时,an=3Sn-1 an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an 即:an+1an=4,(n2),又n=2时,a2=3a1=3所以当n2时an=34n-2，故an=1,n=134n-2,n2 , 又由an+1=3Sn得Sn=an+13=34n-13=4n-1 ，即: an=1,n=134n-2,n2 ,Sn=4n-1 .(2) bn=log2a2n3=log2342n-23=log242n-2=4n-4,1bn+1bn+2=116n(n+1)=116(1n-1n+1) ,故1b2b3+1b3b4+1b4b5+1bn+1bn+2 =116(1-12+12-13+1n-1n+1) =116(1-1n+1) 0)则4=2p,解得p=2,即C1的方程为x2=4y;焦点坐标为F2(0,1),所以椭圆中c=1,其焦点也在y轴上设方程为y2a2+x2b2=1(ab0) 由y2a2+x2b2=1y=1得x=b2a, |AB|=2b2a=3又a2=b2+1解得a=2,b=3椭圆方程为y24+x23=1，又|OF1|=1所以所求圆的方程为x2+y2=1，(2) 因为直线与圆C3相切,所以圆心O到直线的距离为1,所以SOMN=12|MN|1=|MN|2，当直线的斜率不存在时方程为x=1,两种情况所得到的三角形OMN面积相等,由y24+x23=1x=1得y=263 ,不妨设M(1,263),N(1,-263) , |MN|=463此时 SOMN=12|MN|1=263，当直线的斜率存在时设为k,直线方程为y=kx+m所以圆心O到直线的距离为|m|1+k2=1, 即m2=k2+1，由y24+x23=1y=kx+m得(4+3k2)x2+6kmx+3m2-12=0 所以=36k2m2-4(4+3k2)(3m2-12) =36k2(k2+1)-4(4+3k2)(3k2-9)=48(2k2+3) 恒大于0，设M(xM,yM),N(xN,yN) 则xM+xN=-6km3k2+4,xMxN=3m2-123k2+4 所以SOMN=|MN|2=121+k2(xM+xN)2-4xMxN =121+k2(-6km3k2+4)2-43m2-123k2+4 =121+k248(2k2+3)3k2+4 =231+k22k2+33k2+4，令3k2+4=t,则k2=t-42,t4,01t14 所以SOMN=2632t2-t-1t2=263-(1t)2-(1t)+2-(1t)2-(1t)+2是关于1t 的二次函数开口向下,在01t14时单调递减,所以32SOMN263，综上: 32S