山东聊城高三数学二模考试试卷理

2019年聊城市高考模拟试题理科数学（二）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简集合，再和集合求并集，即可得出结果.【详解】因为，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的并集，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由复数的除法运算，化简a-i=b-2ii，再由复数相等求出a,b，进而可得出结果.【详解】因a-i=b-2ii=-b-2ii=-2-bi，所以a=-2，b=1，因此a+bi=-2+i的共轭复数为-2-i.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数相等的充要条件，熟记概念以及复数运算法则即可，属于基础题型.3.已知实数a，b，“ab”是“ac2bc2”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题中条件，分别判断由“ab”能否推出“ac2bc2”，以及由“ac2bc2”能否推出“ab”，结合充分条件与必要条件的概念即可得出结果.【详解】当ab时，若c=0，则ac2=bc2，不能推出“ac2bc2”；当ac2bc2，可得ab；故“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件.故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.4.已知Sn为等差数列an均前n项和，若S3=18，a3=9，则a6=（ ）A. 12B. 15C. 18D. 21【答案】C【解析】【分析】先设等差数列an公差为d，根据S3=18，a3=9，求出首项和公差，进而可得出结果.【详解】设等差数列an的公差为d，由S3=18，a3=9，可得S3=3a1+3d=18a3=a1+2d=9，解得a1=3,d=3，所以a6=a1+5d=18.故选C【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算，熟记公式即可，属于基础题型.5.已知函数f(x)=f(x2),x2ex1+x2,x2，则f(2019)=（ ）A. 2B. 1eC. -2D. e+4【答案】C【解析】【分析】先由x2，f(x)=-f(x-2)得到函数f(x)的周期，将f(2019)化为f3=-f(1)，再由x2时的解析式，即可得出结果.【详解】因为x2，f(x)=-f(x-2)，所以f(x+2)=-f(x)，故fx+4=-fx+2=f(x)，因此x2，函数f(x)是以4为周期的函数，所以f2019=f3+4504=f3=-f(1)，又x2，fx=ex-1+x2，所以f2019=-f1=-1+1=-2.故选C【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，熟记函数周期性即可，属于基础题型.6.1927年德国汉堡大学学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，逐步执行即可得出结果.【详解】因为初始值为a=3，i=1，第一步：a=33+1=101，i=1+1=2，进入循环；第二步：a=a2=51，i=2+1=3，进入循环；第三步：a=35+1=161，i=3+1=4，进入循环；第四步：a=a2=81，i=4+1=5，进入循环；第五步：a=a2=41，i=5+1=6，进入循环；第六步：a=a2=21，i=6+1=7，进入循环；第七步：a=a2=1，i=7+1=8，结束循环，输出i=8.故选D【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图作用，逐步执行即可，属于基础题型.7.已知(12xx2)n展开式中前三项的二项式系数的和等于22，则展开式中的常数项为（ ）A. 1516B. 34C. 34D. 1516【答案】A【解析】【分析】先由前三项的二项式系数的和等于22，求出n，再写出二项展开式的通项，即可求出结果.【详解】因为(12x-x2)n展开式中前三项的二项式系数的和等于22，所以Cn0+Cn1+Cn2=22，整理得nn+1=42，解得n=6，所以二项式(12x-x2)6展开式的通项为Tk+1=C6k(12)6-k(1x)6-k(-1)kx2k=C6k(12)6-k(-1)kx3k-6，令3k-6=0可得k=2，所以展开式中的常数项为C62(12)6-2(-1)2=1516.故选A【点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于常考题型.8.某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图都是两个正方形，俯视图为一个圆及圆中互相垂直的半径，则该几何体的体积为（ ）A. 54B. 32C. 74D. 2【答案】C【解析】【分析】先由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去了18，再由圆柱的体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去了18，且圆柱的底面圆半径为1，高为2，因此，所求几何体的体积为78122=74.故选C【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体体积问题，熟记圆柱体积公式即可，属于常考题型.9.函数f(x)=sinx2+cosx(x)的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数奇偶性，可排除C，再由特殊值x=2验证可排除D；最后对函数求导，得到函数的单调区间，即可得出结果.【详解】因为f(x)=sinx2+cosx，所以f-x=-sinx2+cosx=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C；又f2=sin22+cos2=120，排除D；又fx=cosx2+cosx-sinx-sinx2+cosx2=2cosx+1(2+cosx)2，因为-x所以由fx0可得2cosx+10，解得-23x23；由fx0可得2cosx+10，解得-x-23或23x0)个单位后与y=sin2x的图像重合，则的最小值为（ ）A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】先写出函数向右平移个单位所得函数解析式，结合题意，以及三角函数的性质即可求出结果.【详解】因为将函数y=sin2x的图像向右平移(0)个单位后，可得y=sin(2x-2)，由题意可得sin2x-2=-sin2x，所以2=+2k，kZ,因此=2+k，kZ,又0，所以的最小值为2.故选D【点睛】本题主要考查三角函数图像变换问题，熟记三角函数的性质即可求解，属于基础题型.11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于P(m,2)，则AB=（ ）A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】B【解析】【分析】记AB中点为Q，连结PQ，作AM垂直准线于点M，BN垂直准线于点N，设直线AB的方程为x=ny+1，Ax1，y1，B(x2，y2)，根据题意得到y1+y2=4，再由直线与抛物线联立得到到y1+y2，求出n，进而可求出弦长.【详解】如图，记AB中点为Q，连结PQ，作AM垂直准线于点M，BN垂直准线于点N，因为直线AB过抛物线焦点，所以设直线AB的方程为x=ny+1，Ax1，y1，B(x2，y2)，因为以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于P(m,2)，所以PQ垂直准线，所以2=y1+y22，即y1+y2=4，由y2=4xx=ny+1得y2-4ny-4=0，所以y1+y2=4n，因此n=1，所以AB=x1+x2+p=ny1+1+ny2+1+2=y1+y2+4=8.故选B【点睛】本题主要考查抛线中的弦长问题，熟记抛物线性质即可，属于常考题型.12.已知f(x)为函数f(x)的导数，且f(x)=12x2f(0)x+f(1)ex1，若g(x)=f(x)12x2+x，方程g(ax)x=0有且只有一个根，则a的取值范围是（ ）A. 1eB. ,1eC. 0,1eD. (,01e【答案】D【解析】【分析】先由题意求出f(0)，f(1)，得到gx=fx-12x2+x=ex，根据方程g(ax)-x=0有且只有一个根，得到a=lnxx有且只有一个实根，令hx=lnxx，用导数的方法判断函数的单调性，得到函数的简图，由数形结合思想即可求出结果.【详解】因为f(x)=12x2-f(0)x+f(1)ex-1，所以f0=f(1)e又fx=x-f0+f(1)ex-1，所以f1=1-f1e+f(1)，因此f1=e，f0=1，所以fx=12x2-f0x+f1ex-1=12x2-x+ex，因此gx=fx-12x2+x=ex，因为方程g(ax)-x=0有且只有一个根，所以eax=x有且只有一个根，即a=lnxx有且只有一个实根，且x0；令hx=lnxx，(x0)，则hx=1-lnxx2，由hx=0得x=e，所以当xe时，hx0，函数hx单调递减；当0xe时，hx0，解得m=2.故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.15.已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，过点F的直线在第一象限与椭圆C交与点P，且POF为正三角形，则椭圆C的离心率为_.【答案】31【解析】【分析】根据过点F的直线在第一象限与椭圆C交与点P，且POF为正三角形，求出点P坐标，再代入椭圆方程，即可求出结果.【详解】因为F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点，所以F(c，0)，又点F的直线在第一象限与椭圆C交与点P，且POF为正三角形，边长为OF=c，所以P(c2，32c)，代入x2a2+y2b2=1可得：c24a2+3c24b2=1，又a2=b2+c2，所以4a4-8a2c2+c4=0，所以e4-8e2+4=0，解得e2=423，因为0e1，所以e2=4-23，故e=3-1.故答案为3-1【点睛】本题主要考查椭圆离心率，熟记椭圆的性质即可，属于常考题型.16.对于数列an，定义Hn=a1+2a2+.+2n-1ann为an的“优值”.已知某数列an的“优值”Hn=2n+1，记数列an-kn的前n项和Sn，若SnS5对任意的nN*恒成立，则实数k的取值范围为_.【答案】73,125【解析】【分析】先由Hn=a1+2a2+.+2n-1ann=2n+1求出an=2(n+1)，得到数列an-kn是等差数列，再根据SnS5对任意的nN*恒成立，得到a50，a60，解不等式即可求出结果.【详解】由题意可得Hn=a1+2a2+.+2n-1ann=2n+1，则a1+2a2+.+2n-1an=n2n+1，所以a1+2a2+.+2n-2an-1=(n-1)2n，所以2n-1an=n2n+1-(n-1)2n，因此an=2(n+1)，则an-kn=2n+1-kn=2-kn+2，所以数列an-kn等差数列，故SnS5对任意的nN*恒成立，可化为a50，a60，即52-k+2062-k+20，解得73k125.故答案为73,125【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式即可求解，属于常考题型.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 17.如图，在ABC中，D是边BC上一点，AB=AC，BD=1，sinCAD=3sinBAD.（1）求DC的长；（2）若AD=2，求ABC的面积.【答案】（1）3；（2）23【解析】【分析】（1）先由正弦定理，可得ABsinADB=BDsinBAD，ACsinADC=DCsinCAD，再由题中条件，即可求出结果；（2）先由余弦定理可得，AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB，C2=AD2+DC2-2ADDCcosADC，根据题中数据求出cosADC，进而可求出结果【详解】（1）在ABD中，由正弦定理，得ABsinADB=BDsinBAD，在ADC中，由正弦定理，得ACsinADC=DCsinCAD，因为AB=AC，sinADB=sinADC，BD=1，sinCAD=3sinBAD，所以DC=3BD=3.（2）在ABD中，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB，在ADC中，由余弦定理，得AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC，因为AB=AC，AD=2，BD=1，DC=3，cosADB=-cosADC.所以4+1+221cosADC=4+9-223cosADC，解得cosADC=12，所以ADC=60.所以SABC=12(BD+CD)ADsinADC =1242sin60=23.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、以及余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为CD的中点，以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置，且PAB=60.（1）求证：平面PEC平面PAB；（2）求二面角PAEB的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）14【解析】【分析】（1）先由线面垂直的判定定理得到PE平面PAB，进而可得平面PEC平面PAB；（2）先取AB中点F，连结PF，EF，证明平面PEF平面ABCE，在平面PEF内作POEF于O点，则PO平面ABE. 以O点为原点，OF为x轴，OP为轴，如图建立空间直角坐标系.分别求出两平面的法向量，求向量夹角余弦值，即可求出结果.【详解】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以折起后PEPA，且PA=AB，因为PAB=60，所以PAB是正三角形，所以PB=PA.又因为正方形ABCD中，E为CD的中点，所以EA=EB，所以PAEPBE，所以EPB=EPA，所以PEPB，又因为PAPB=P，所以PE平面PAB.又PE平面PEC，所以平面PEC平面PAB.（2）取AB中点F，连结PF，EF，则ABPF，ABEF，又PFEF=F，则AB平面PEF.又AB平面ABCE，所以平面PEF平面ABCE.在平面PEF内作POEF于O点，则PO平面ABE.以O点为原点，OF为x轴，OP为轴，如图建立空间直角坐标系.在PEF中，PF=3，PE=1，EF=2.PO=132=32，EO=12，故P(0,0,32)，E(-12,0,0)，A(32,-1,0)，PA=(32,-1,-32)，AE=(-2,1,0).设平面PAE的一个法向量为n1=(x,y,z)，则由n1PA=0n1AE=0，得32x-y-32z=0-2x+y=0，令x=1，得y=2，z=-33，n1=(1,2,-33).因为平面ABE的法向量为n2=(0,0,1)，则cos=-33431=-14，又二面角P-AE-B为锐二面角，二面角P-AE-B的余弦值为14.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的余弦值，熟记面面垂直的判定定理、以及二面角的向量求法即可，属于常考题型.19.已知以椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形. （1）求椭圆E的方程； （2）直线：y=kx+m(km0)与椭圆E交于异于椭圆顶点的A，B两点，O为坐标原点，直线AO与椭圆E的另一个交点为C点，直线和直线AO的斜率之积为1，直线BC与x轴交于点M.若直线BC，AM的斜率分别为k1，k2，试判断k1+2k2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）x24+y22=1；（2）0【解析】【分析】（1）由题意可得到b=ca2=4a2=b2+c2，求解即可得出椭圆方程；（2）先设A(x1,y1)(x1y10)，B(x2,y2)(x2y20)，则C(-x1,-y1)，kAO=y1x1，根据kAOk=1，得到k=x1y1，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，表示出k1，k2，进而可求出k1+2k2的值，得出结论.【详解】（1）因为椭圆的两个焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形，所以b=ca2=4a2=b2+c2，解得a2=4b2=2.所以椭圆E的方程为x24+y22=1.（2）设A(x1,y1)(x1y10)，B(x2,y2)(x2y20)，则C(-x1,-y1)，kAO=y1x1，因为kAOk=1，所以k=x1y1，联立x24+y22=1y=kx+m，消y，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0，所以x1+x2=-4km1+2k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2，所以k1=y1+y2x1+x2=-12k=-y12x1，直线BC的方程为：y+y1=-y12x1(x+x1)，令y=0，由y10，得x=-3x1，所以M(-3x1,0)，k2=y1x1+3x1=y14x1，所以k1+2k2=-y12x1+2y14x1=0.所以k1+2k2为定值0.【点睛】本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型.20.某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图）： 规定产品的质量指标值在65,75)的为劣质品，在75,105)拘为优等品，在105,115的为特优品，销售时劣质品每件亏损1元，优等品每件盈利3元，特优品每件盈利5元.以这100 件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润； （2）该企业为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年年营销费用xi和年销售量yi(i=1,2,3,4,5)数据做了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值. i=15uii=15ii=15(uiu)(i)i=15(uiu)216.3023.200.811.62表中ui=lnxi，i=lnyi，u=15i=15ui，=15i=15i.根据散点图判断，y=axb可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程. 求y关于x的回归方程； 用所求的回归方程估计该企业应投人多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售利润营销费用，取e3.01=20）附：对于一组数据(u1,1)，(u2,2)，(un,n)其回归直线=+u均斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=15(uiu)(i)i=15(uiu)2，=u.【答案】（1）3；（2）y=20x0.5，900万元.【解析】【分析】（1）先设每件产品的销售利润为X，判断出X的可能取值，根据频率分布直方图求出对应概率，进而得出分布列，求出期望；（2）先由y=axb得，lny=lna+blnx，令u=lnx，=lny，c=lna，则=c+bu，根据表中数据求出b，进而可得=3.01+0.5u，从而可得lny=3.01+0.5lnx=ln(e3.01x0.5)，整理即可求出结果；设年收益为x万元，则z=3y-x=320x0.5-x，令t=x0.5，则z=60t-t2=-(t-30)2+900，进而可求出结果.【详解】（1）设每件产品的销售利润为X，则X的可能取值为-1，3，5由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为0.05，0.85，0.1.所以P(X=-1)=0.05；P(X=3)=0.85；P(X=5)=0.1，所以X的分布列为X-135P0.050.850.1所以E(X)=(-1)0.05+30.85+50.1=3（元）.即每件产品的平均销售利润为3元.（2）由y=axb得，lny=lna+blnx.令u=lnx，=lny，c=lna，则=c+bu，由表中数据可得，b=i=15(ui-u)(i-)i=15(ui-u)2=0.811.62=0.5，则c=-bu=23.205-0.516.305=3.01.所以=3.01+0.5u，即lny=3.01+0.5lnx=ln(e3.01x0.5).因为e3.01=20，所以y=20x0.5，故所求的回归方程为y=20x0.5.设年收益为x万元，则z=3y-x=320x0.5-x.令t=x0.5，则z=60t-t2=-(t-30)2+900，所以当t=30，即x=900时，有最大值900.即该企业应该投入900万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大900万元.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望以及非线性回归方程，只需依题意将非线性方程化为线性的来处理即可，属于常考题型.21.已知函数f(x)=x(lnx12x+a1)有两个极值点. （1）求a的取值范围； （2）