数学归纳法证明不等式新课标人教22

数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选矿的重点内容之一，包括数学归纳法的定义和数学归纳法证明的基本步骤，用数学归纳法证明不等式。 数学归纳法是高考的重要内容之一，在数列推理能力考察中占有重要地位。本课主要复习数学归纳法的定义，数学归纳法证明基本步骤，数学归纳法证明不等式的方法：差异比较法、商比较法、综合法、分析法和放大法，以及类比和预测、抽象和摘要、特殊到一般的数学思想方法。在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，应注意以下几点(1)在从n=k 1到n=k 1的过程中，必须认识不等式两端(一般为左端)的项目数的变化，即不等式的结构特征(瞄准n=k 1时的递归目标，在目的地进行变焦、分析(3)充分利用出发点的位置(4)某些问题首先需要等效变换。例题考究例1，用数学归纳法证明分析：本命题的意图：本题主要研究数学归纳法的定义，证明基本步骤证明：n=1时，因为左边=1-=、右边=所以式成立。当n=k时，假定公式成立也就是说。那么，在n=k 1情况下即，在n=k 1时方程式也成立。如上所述，方程对于任意自然数n成立。评估：(1)当n取第一值n0时，证明结论正确，即P(n0)正确. (n=k(kN且kn0)时结论正确，即使在n=k 1的情况下即证明从P(k )正确推出了P(k 1)，从(1)、(2)可以判定命题P(n )对于从n0开始的所有自然数n是正确的。要证明的方程式的左边是共计2n项，右边是共计n项。 f(k )与f(k 1)相比，在左边加上2项，在右边加上1项，另外，因为右边的第一项也不同，所以采用了在分析f(k )和f(k 1)的差异和关系的基础上发现的方法作为证明。练习：1 .使用数学归纳法证明，第一步3 kn3(n3，nN )应该被验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4分析：由于问题n3， n=3.答案：应该验证c2 .数学归纳法证明4 3n 2可以被13整除，其中nN证明：(1)在1)n=1的情况下，421 1 31 2=91可以被13整除(2)假设在n=k时42k 1 3k 2可以被13整除，则在n=k 1时42 (k1 ) 13k3=42k 1423 k23-42k 1342 k13=42k 113 3(42k 1 3k 2)42k 113可以被13整除，42k 1 3k 2可以被13整除n=k 1时也成立。由此可知，在nN*情况下，42n 1 3n 2可以被13除尽.例2、寻求证据：分析：该命题的意图：本题主要考察用数学归纳法证明不等式的方法和一般程序。用数学归纳法证明，完成两个步骤是必不可少的。 但是，从问题的难易度分析，要证明第二步是难点和关键，有必要运用归纳假设，将命题从n=k转换为n=k 1，这个转换要求在变化过程中结构不变。证明：(1)n=2时，右边=，不等式成立。(2)假定此时命题成立，即是当时所以当时不等式也成立了由(1)、(2)可知，原不等式全部成立。评价：本问题在当时的证词过程中(1)要注意分析命题的结构特征，即当时不等式左端项数的增减情况(2)应用了收缩技术例3、已知、用数学归纳法证明：证明：(1)在1)n=2情况下，命题成立.(2)假定此时命题成立，即是当时所以当时不等式也成立了由(1)、(2)可知，原不等式全部成立。评价：本问题在当时的证词过程中(1)不等式的左端追加了项，但并非只追加了“”。 否则，证明问题的想法必然受到阻碍(2)应用了收缩技术练习：1、证明不等式：分析1、数学归纳法的基本步骤：如果将P(n )作为与自然数n相关的命题1P(n0)成立(开基)若假定P(k )成立(kn0)、P(k 1)成立(归纳)，则P(n )全部对于n0以上自然数n成立.2、数学归纳法难以证明不等式，除了采用证明不等式的一些基本方法外，常用的方法是放大法，对目标进行合理的放大，达到目标。证明： (1)n=1时，不等式成立(2)假定2)n=k，不等式成立，即好吧即，在n=k 1情况下，不等式也成立.由(1)(2)可知，不等式对nN成立。2 .寻求证据：用数学归纳法证明证明：(1)n=1时，不等式成立n=2时，不等式成立在n=3情况下，不等式成立.(2)假定当时不等式成立，即当时，222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡因此1即，当时不等式也成立.由(1)、(2)可知，全部成立。在评价： (* )中，由于在该时刻成立，因此起点证仅n=1不够，所以必须注意命题递归关系式中起点位置的推移3 .寻求证据：其中，以及分析：该问题是2004年广东高考数学试卷第21题的恰当变形，有两种证据法证明法1 :用数学归纳法证明(1)m=2时，不等式成立。(2)假设然后呢222222222卡卡卡卡卡卡卡卡653因此马上也有由(1)和(2)可知，配对全部成立。证明法2 :进行差、收缩，利用二元展开式和收缩法进行证明那个时候例4，(2005年江西省大学入学考试理科数学第21题第(1)小题，本小题满分12分)已知数列证明书求数列通项式an分析：近年高考数学归纳法考察加强了数列推理能力的考察。 考察数列，结合数学归纳法成为话题。解： (1)方法用数学归纳法证明n=1时，命题是正确的假设n=k则然后呢再见时命题是正确的由1、2可知，对于所有nN方法2 :用数学归纳法证明在n=1情况下；假设n=k则成立单调增加到“0，2”这就是为什么我们有假设即，即即n=k 1时成立所以全部(2)如下求出数列的通项所以呢则因为bn=-1是评估：本问题所揭示的两种方法经数学归纳法证明，不同之处在于方法采用了一种差异比较法，利用了方法二函数的单调性本问题，首先求出第(2)题，即数列的通项式，利用函数的单调性和有界性，也可以证明第(1)题的不等式，这样的话，无形中第(1)题的难易度变大，明确了用数学归纳法来证明并不简单。练习：1 .正数a、b、c无论等差数列还是等比数列，在n1，nN*且a、b、c互不相等时，都证实为an cn2bn。分析：该命题的意图：本题主要是数学归纳法证明不等式，考察的知识包括等差数列、等比数列的性质和数学归纳法证明不等式的一般程序技术和方法：本文结论： (ak-ck)(a-c)0始终成立(a，b，c为正数)，ak 1 ck 1akc cka证明： (1)设a、b、c为等比数列，a=，c=bq(q0且q1 )an cn=bnqn=bn(qn)2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a c预测 () n(n2且nN* )用数学归纳法证明n=2时，从2(a2 c2)(a c)2、开始当n=k时成立，即在n=k 1的情况下(AK1 CK1 CK1) (ak 1 ck 1 akc cka)=(ak ck)(a c ) () k()=()k 1据此可知，不等式对于n1、nN*成立.2 .基础训练一、选择问题1 .对于已知的f(n)=(2n 7)3n 9，如果m存在使得m可以被f(n )整除的自然数m，则最大的m值为()A.30B.26C.36D.6分析： f(1)=36，f(2)=108=336，f(3)=360=1036估计f (1)、f(2)、f(3)可以被36整除，f(n )可以被36整除。证明： n=1，2时，从上面进行证明，n=k(k2 )时f(k)=(2k 7)3k 9可以被36整除，但是在n=k 1的情况下f(k 1)-f(k)=(2k 9)3k 1-(2k 7)3k=(6k 27)3k-(2k 7)3k=(4k 20)3k=36(k 5)3k-2(k2 )f(k 1)可以被36整除f(1)不能被36以上的整数除尽，2222222222222222652答案： c二、填空问题2 .观察下列公式： 是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析：(nN* )(nN* )3 .若为已知的a1=，an 1=，则a2、a3、a4、a5的值分别为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _、三、解答问题4 .如果n是1以上的自然数，求证明：证明： (1)n=2时(2)n=k时成立，即因此，对于nN*，在n1情况下5 .已知数列bn是等差数列，b1=1，b1 b2 b10=145(1)求出数列bn的通项式bn(2)将数列an的通项an=loga(1) (其中，a0且a1 )设为数列an的前n项，将Sn与logabn 1的大小进行比较，试着证明你的结论(1)解：将数列bn的公差设为d，从题意来看，为8756； bn=3n-2(证明以bn=3n-2已知Sn=loga(1 1) loga(1 ) loga(1)=loga(1 1)(1 )(1 )而且，由于logabn 1=loga，所以将Sn和logabn 1大小与(1)、(1)的大小进行比较.如果n=1，则(1)=如果n=2，则有(1)推测： (1 1)(1 )(1 ) (* )在n=1情况下，已验证(* )式成立.若假定n=k(k1 )，则(* )式成立，即(1)、(1)(1) n=k 1时即，在n=k 1时，(* )式成立由可知，(* )式对于任意正整数n成立。并且，在a1的情况下，在sn log ABN 1，0 a 1的情况下，成为Snlogabn 16 .如果实数q满足|q|1、数列an满足a1=2、a20、anan 1=-qn，则求出an式，如果S2n3，则求出q可取范围.解：a1a2=-q，a1=2，a20q0，a2=-，anan 1=-qn，an 1an 2=-qn 1除以二式，an 2=qan于是，a1=2、a3=2q、a5=2qn预测： a2n1=-qn(n=1、2、3、)。综合，通项式为an=下证： (1)预计在1)n=1、2时成立(n=2k-1时，如果a2k-1=2qk-1，则n=2k 1时，a2k 1=qa2k-1a2k 1=2qk即n=2k-1成立。可知n=2k 1也成立.如果在n=2k时a2k=-qk，则在n=2k 2时a2k 2=qa2k因此，a2k 2=-qk 1，这表示n=2k成立，可以推测n=2k 2也成立.如上所述，对于所有自然数n，预测成立这样求出的通项式是an=S2n=(a1 a3 a2n-1) (a2 a4 a2n )=2(1 q q2 qn-1)- (q q2 qn )|q|1，222222222222222652问题意识0，|q|1时-1q0或03 .巩固练习1. (06年湖南卷.理. 19本小题满分14分)已知函数，数列满足：证明：() (ii)证明： (I ) .首先用数学归纳法证明，n=1，2，3，(I).n=1时，根据已知可以得出明显的结论。(ii ) .假设n=k时结论成立. 00成立。故意点评：不等式问题常常与函数、三角、数列、导数、几何学等数学分支交错，综合考察用不等式知识解决问题的能力，特别着重于交往中各分歧内在不等式的结论的证明。 有必要灵活运用各分支的数学知识2. (05年辽宁卷. 19本小题满分12分)已知函数设定数列后满足，设定数列后满足(I )用数学归纳法证明；(ii )证明；分析：本小题主要考察数列、等比数列、不等式等基本知识，并考察运用数学归纳法解决问题的能力(I )证明：因为a1=1所以呢用数学归纳法证明不等式(1)n=1时，b1=，不等式成立(2)当2)n=k时，不等式成立，即好吧因此，当n=k 1时，不等式也成立。由(1)