山东青岛高三数学第二次模考试卷文

2019年青岛市高考模拟检测数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求解出集合，再根据交集的定义得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.“”是“复数为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充要条件的判定，分别验证充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果.【详解】当a=2时，z=2+2i1+i=4i，则为纯虚数可知“a=2”是“复数z=a+2i1+iaR为纯虚数”充分条件；当z=a+2i1+i=a2+a2i为纯虚数时，a2=0a20，解得：a=2可知“a=2”是“复数z=a+2i1+iaR为纯虚数”的必要条件；综上所述，“a=2”是“复数z=a+2i1+iaR为纯虚数”的充要条件本题正确选项：C【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定问题，属于基础题.3.已知平面向量a，b的夹角为23，且a=3，b=2，则a(a2b)=（ ）A. 3B. 9C. 12D. 15【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算法则求解即可得到结果.【详解】aa2b=a22ab=a22abcos=91212=15本题正确选项：D【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于基础题.4.函数f(x)=xsinx+lnx在区间2,2上的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x0时，xsinx+lnx0，分析可得答案【详解】根据题意，f（x）xsinx+ln|x|，其定义域为x|x0，有f（x）（x）sin（x）+ln|（x）|xsinx+ln|x|f（x），即函数f（x）为偶函数，在区间2，0）（0，2上关于y轴对称，排除A、D；又由x0时，xsinx+lnx0，排除C；故选：B【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析5.已知在ABC中，a，b，分别为角A，B，C的对边，A为最小角，且a=3，b=2，cosA=58，则ABC的面积等于（ ）A. 7316B. 3916C. 394D. 734【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数求出sinA；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果.【详解】cosA=58 sinA=1cos2A=398由余弦定理得：a2=c2+b22bccosA，即3=c2+45c2解得：c=12或c=2A为最小角 ca c=2SABC=12bcsinA=1222398=394本题正确选项：C【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.6.已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2F1F2，AF1与y轴交于点B，则OB的值为（ ）A. 34B. 32C. 54D. 52【答案】A【解析】【分析】根据垂直关系可知AF2为通径，从而得到AF2；利用平行关系可知OB=12AF2，从而得到结果.【详解】由AF2F1F2可知：AF2为通径 AF2=b2a=32OB/AF2且O为F1F2中点 OB=12AF2=34本题正确选项：A【点睛】本题考查椭圆几何性质的应用问题，属于基础题.7.若a=9412，b=3log83，c=2313，则a，b，的大小关系是（ ）A. cbaB. abcC. bacD. calog2232=log222=a1c=23131,故cab,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等。8.已知圆C：x2+y2=1和直线：y=k(x+2)，在(3,3)上随机选取一个数k，则事件“直线与圆C相交”发生的概率为（ ）A. 15B. 14C. 13D. 12【答案】C【解析】【分析】根据直线与圆相切时的斜率可得直线与圆相交时k的取值范围，从而根据几何概型得到结果.【详解】直线方程为：kxy+2k=0当直线与圆C相切时可得：2kk2+1=1，解得：k=33直线与圆C相交时，k33,33所求的概率：P=23323=13本题正确选项：C【点睛】本题考查几何概型问题，关键是能够利用直线与圆的位置关系求解出参数的取值范围.9.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面为等腰直角三角形个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，根据三视图中的垂直关系和长度关系可依次验证各个侧面三角形，进而得到结论.【详解】由三视图可得直观图如下图所示：由三视图可知：PD平面ABCD PDAD，PDDC，PDAB又PD=AD=2，PD=DC=2PAD和PDC为等腰直角三角形又PDAB，ADAB AB平面PAD ABPA又AB=1，PA=4+4=22 PAB不是等腰直角三角形PB=12+22+22=3，BC=12+22=5，PC=22+22=22PBC不是等腰直角三角形综上所述，侧面为等腰直角三角形的共有2个本题正确选项：B【点睛】本题考查三视图还原几何体的问题，属于基础题.10.将函数f(x)=sin(2x+)(20)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)、g(x)的图象都经过点P(0,32)，则的值可以是( )A. 53B. 56C. 2D. 6【答案】B【解析】g(x)sin(2x2)由f(0)32得，sin32，又22，3.由g(0)32得sin(32)32，将选项代入验证知B符合【此处有视频，请去附件查看】11.已知函数f(x)=logax,x3mx+8,x1且loga32，解得10,b0)的左、右两支分别交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若OC平分AOB，则该双曲线的离心率为_【答案】5【解析】【分析】根据对称性和角平分线性质可得AOC60，进而可求出C点坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，从而可计算双曲线的离心率【详解】OC平分AOB，AOCCOB，由双曲线的对称性可知BOyCOy，AOC2COy，AOC60，故直线OC的方程为y=3x，令3x=3b可得xb，即C（b，3b），代入双曲线方程可得b2a2-31，即ba=2，b2a，c=a2+b2=5a，e=ca=5故答案为：5【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题16.设函数f(x)=exx的图象上任意一点处的切线为l1，若函数g(x)=ax+cosx的图象上总存在一点，使得在该点处的切线l2满足l1l2，则a的取值范围是_【答案】0,1【解析】【分析】根据fx求得kl1的范围，根据垂直关系可得kl20,1；通过gx求得kl2a1,a+1；由题意可知0,1a1,a+1，从而得到不等式组，解不等式组求得结果.【详解】fx=ex1,1，即kl1,1又l1l2，即kl1kl2=1 kl20,1kl2=gx=asinxsinx1,1 kl2=asinxa1,a+1a10a+11 a0,1本题正确结果：0,1【点睛】本题考查导数的几何意义，关键是能够通过导函数的解析式得到斜率的取值范围，再利用集合的包含关系构造不等关系求得结果.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列an的各项均为正数，a1=3，且对任意nN*，2an为an+12+3和1的等比中项，数列bn满足bn=an21nN*.（1）求证：数列bn为等比数列，并求an通项公式；（2）若cn=log2bn，cn的前n项和为Tn，求使Tn不小于360的n的最小值.【答案】（1）证明见解析，an=22n+1+1；（2）18.【解析】【分析】（1）根据等比中项的定义得到an+12=4an23，可构造出bn+1=4bn，可证得结论；通过等比数列通项公式求得bn，进而根据bn与an关系求出an的通项公式；（2）通过分组求和的方式求得Tn，由Tn360求出所求的最小值.【详解】（1）由题意得：2an2=an+12+31，即an+12=4an23an+121=4an231=4an24=4an21bn=an21 bn+1=4bn数列bn成等比数列，首项为b1=a121=8，公比为4bn=b14n1=822n2=22n+1an21=22n+1，又an为正项数列 an=22n+1+1（2）由（1）得：cn=log2bn=log222n+1=2n+1Tn=c1+c2+cn=21+1+22+1+2n+1=21+2+3+n+n=2nn+12+n=n2+2nTn=n2+2n360，即n2+2n3600 n+20n180n18或n20（舍去）所以Tn不小于360的n的最小值为18【点睛】本题考查等比数列的判定、等比数列通项公式的求解、分组求和法求数列的前n项和的问题，关键是能够采用构造的方式将递推关系式化为符合等比数列定义的形式.18.如图，在圆柱W中，点O1、O2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧ME的中点，点H与点G在平面MNFE的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2.（1）若平面FNH平面NHG，证明：NGFH；（2）若直线O1H/平面FGE，求H到平面FGE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）22.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得FH平面NHG，由线面垂直的性质证得结论；（2）通过面面平行将问题转化为O2到平面FGE的距离；取GE中点V，则可通过证明O2V平面FGE可知所求距离即为O2V，从而在等腰直角三角形GO2E中求得结果.【详解】（1）面FNH面NHG，面FNH面NHG=NH又NHFH，FH平面FHN FH平面NHGNG平面NHG FHNG（2）连接O1O2O1O2/EF，O1O2平面FGE，EF平面FGEO1O2/平面FGE又直线O1H/平面FGE，O1HO1O2=O1 平面O1HO2/平面FGEH到平面FGE的距离等于O2到平面FGE的距离取线段EG的中点VO2VEG，O2VEF，EGEF=EO2V平面FGE所以H到平面FGE的距离为O2VG为弧ME中点 EO2O2G在等腰直角三角形EO2G中，O2E=O2G=1O2V=12GE=1212+12=22所求距离为22【点睛】本题考查利用线面垂直性质定理证明线线垂直、点到平面的距离的求解问题，关键是能够通过面面平行将问题转化为平面上任一点到另一平面的距离的求解.19.鲤鱼是中国五千年文化传承的载体之一，它既是拼搏进取、敢于突破自我、敢于冒险奋进精神的载体，又是富裕、吉庆、幸运的美好象征.某水产养殖研究所为发扬传统文化，准备进行“中国红鯉”和“中华彩鲤”杂交育种实验.研究所对200尾中国红鲤和160尾中华彩鲤幼苗进行2个月培育后，将根据体长分别选择生长快的10尾中国红鲤和8尾中华彩鲤作为种鱼进一步培育.为了解培育2个月后全体幼鱼的体长情况，按照品种进行分层抽样，其中共抽取40尾中国红鲤的体长数据（单位：cm）如下：5677.588.443.54.54.35432.541.666.55.55.73.15.24.456.43.57433.46.94.85.65566.53676.6（1）根据以上样本数据推断，若某尾中国红鲤的体长为8.3cm，它能否被选为种鱼？说明理由；（2）通过计算得到中国红鲤样本数据平均值为5.1cm，中华彩鲤样本数据平均值为4.875cm，求所有样本数据的平均值；（3）如果将8尾中华彩鲤种鱼随机两两组合，求体长最长的2尾组合到一起的概率.【答案】（1）能；（2）5cm；（3）17.【解析】【分析】（1）根据样本数据中能被选为种鱼的身长数据，可知8.38能被选为种鱼；（2）根据分层抽样原则得到中华彩鲤的样本数，根据平均数计算方法求解得到结果；（3）列出与体长最长的2尾中的1尾组合到一起的所有情况，根据古典概型求得结果.【详解】（1）能被选为种鱼200尾中国红鲤中有10尾能被选为种鱼 40尾中国红鲤样本中有2尾能被选为种鱼样本数据中身长为8.4cm和8cm的中国红鲤能被选为种鱼身长为7.5cm以下的中国红鲤不能被选为种鱼由于8.38，所以该尾中国红鲤能被选为种鱼（2）根据分层抽样的原则，抽取中华彩鲤样本数为16040200=32尾所有样本数据平均值405.1+324.87540+32=5 cm（3）记体长最长的2尾中华彩鲤为A,B，其他6尾中华彩鲤为a,b,c,d,e,f与A组合的中华彩鲤，共有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Af七种情况所以，体长最长的2尾组合到一起的的概率为17【点睛】本题考查抽样方法中分层抽样的应用、列举法解决古典概型中的概率问题，属于基础题.20.已知圆F：(x1)2+y2=1，动点Q(x,y)(x0)，线段QF与圆F相交于点P，线段PQ的长度与点Q到y轴的距离相等.（1）求动点Q的轨迹W的方程；（2）过点F的直线交曲线W于A，D两点，交圆F于B，C两点，其中B在线段AF上，C在线段DF上，求AB+4CD的最小值及此时直线的斜率.【答案】（1）y2=4x；（2）4，k=22.【解析】【分析】（1）根据已知条件可知QF等于点Q到直线x=1的距离，由抛物线定义可得轨迹方程；（2）由A,F,D三点共线，可根据向量坐标运算得到y1y2=4；根据抛物线定义可求得ABCD=1，利用基本不等式求得最小值；再根据最值成立条件求得A点坐标，从而可求得直线斜率.【详解】（1）由题知：点Q到F的距离QF等于Q到y轴的距离加1QF等于Q到直线x=1的距离由抛物线的定义可知：点Q的轨迹W是以F为焦点，以x=1为准线的抛物线所以动点Q的轨迹W的方程为：y2=4x（2）设Ay124,y1，Dy224,y2，FA=y1241,y1，FD=y2241,y2A,F,D三点共线 FA=y1241,y1与FD=y2241,y2共线y1241y2=y2241y1，整理得：y1y2=4由抛物线的定义得：ABCD=FA1FB1=y124+11y224+11=y12y2216=1由基本不等式：AB+4CD24ABCD=4当且仅当AB=4CD时等号成立，即y124+11=4y224+11，即y124=y22成立又y1y2=4 y1=2 A12,2或A12,2k=20121=22或k=20121=22所以AB+4CD的最小值为4，此时直线的斜率为k=22【点睛】本题考查利用抛物线定义求解轨迹方程，直线与抛物线综合应用中的最值问题的求解，解决最值问题的关键是能够求解出积的定值，从而使问题转化为符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出和的最小值.21.已知函数g(x)=lnxxm(m0)，h(x)=2x+m.（1）若g(x)在(0,e2上为单调递增，求实数m的取值范围；（2）若m=1，且f(x)=g(x)h(x)，求证：对定义域内的任意实数x，不等式f(x)0时，2lnxx211x，在0x1时分别得到需恒成立的不等式；令Gx=x212xlnx，通过导数研究Gx单调性，结合G1=0可证得结论.【详解】（1）由已知gx=lnxxm(m0)的定义域为0,+所以gx=lnxxmlnxxmxm2=1mxlnxxm2gx在0,e2上单调递增对任意x0,e2，都有gx=1mxlnxxm20 1mxlnx0即mx1lnx令hx=x1lnx，hx=lnx当0x0；当x1时，hx0函数hx=x1lnx在0,1上单调递增，在1,e2上单调递减因为0x0hxmin=he2=e21lne2=e2 me2（2）当m=1时，fx=gxhx=lnxx+12x1=2lnxx21对定义域内的任意正数x，不等式fx0时，2lnxx211时，x210；当0x1时，x211时，2xlnxx21；当0xx21令Gx=x212xlnxGx=x212xlnx=2x2xlnx=2x2lnx2=2xlnx1令mx=xlnx1，则mx=xlnx1=11x=x1x当0x1时，mx1时，mx0 所以x=1是mx的极值点，从而