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文档简介

1,微积分学的创始人:,德国数学家Leibniz,导数,描述函数变化快慢,描述函数变化,都是描述物质运动的工具,(从研究函数),导数思想最早由法国,数学家Ferma在研究,极值问题中提出.,英国数学家Newton,第三章导数与微分,2,3.1导数的概念,第三章导数与微分,3.2求导法则,3.3基本导数公式与高阶导数,3.4函数的微分,3.5导数在经济学中的简单应用,3,3.1导数的概念,一、导数产生的背景,二、导数的定义,三、导数的几何意义,五、函数的可导性与连续性的关系,四、单侧导数,4,一、导数产生的背景,变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则到的平均速度为,而在时刻的瞬时速度为,自由落体运动,物理背景,5,平面曲线上切线的概念,割线MQ,切线MT,切点,曲线的切线斜率,数学背景,6,曲线,在M点处的切线,割线MN的极限位置MT,(当时),割线MN的斜率,切线MT的斜率,7,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,共性？,8,二、导数的定义,9,由定义求导数（三步法）,10,11,k0为常数.,如果函数f(x)在点x0处可导,反之是否成立？,不成立！,12,导数的几何意义,13,x轴、或不存在,反映出点x0处的导数值也是三种情况。,y,O,x,x0,y=c,f(x0)=0,y,O,x,f(x0)=,x0,O,x,y,x0,y,O,x,x0,f(x0)不存在,f(x0)不存在,切线平行于x轴：,切线垂直于x轴：,无切线：,无切线：,曲线y=f(x)在点x0处的切线可能平行于x轴、垂直于,14,瞬时速度,切线斜率,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,15,16,先求导、后代值！,17,解:,即,通常说成：常数的导数为零.,18,练习求函数,的导数.,解:,即,类似可证得,和差化积,等价无穷小,或重要极限,19,等价无穷小代换,解:,20,例如，,21,解:,等价无穷小代换,22,等价无穷小替代,故,解:,23,24,三、导数的几何意义,25,解:,即,故点(3,9)的切线方程为：,即,点(3,9)的法线方程为：,26,解:,27,四、单侧导数,28,连续不一定可导！,判断可导性:,用导数定义！,29,解,30,逆否命题是？,五、函数的可导性与连续性的关系,可导必连续！,31,解,32,f(x)在x=0处可导,从而,f(0)=1,f(x)在x=0处连续,f(0)=a.,例11.,解:,33,由可导性：,故b=1,此时函数为,34,35,求,解:方法1利用导数定义.,方法2利用求导公式.,练习1设,36,内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式
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