计算机视觉中的多视图几何D射影几何和变换.ppt

3D射影几何和变换，第2页，点和直线的齐次表示，直线：ax乘c=0(a，b，c)作为向量，(ka，kb，KC)也是向量；上述两个向量是等价的，因为只有一个全局比例因子差，并且两者代表同一条直线。这种等价关系下的等价类称为齐次向量。红外图像中的向量等价类集构成投影空间IP，(0，0，0)；第3页，点的同质表示，表示：点，x=(x，y)；第I行=(a，b，c)；ax乘以c=0；方法：以“1”为点的最后一个坐标，使红外成为一个齐次矢量；充要条件：(x，y，1)和(a，b，c)的内积是ax byc=0；通式：点的同质性表示为x=(x1，x2，x3)x=(x1/x3，x2/x3)；第4页，理想点和无限远线，两条平行线L1: axbyc=0L2: axbyc=0，两条直线的交点可计算为(bc-bc，0，0)。这是点的同质表示。当我们使用非秒点来表示它时，将出现bc-bc/0问题，这意味着两条线的交点在无穷远处，第5页，理想点和无穷远点，IR包括坐标的齐次表示下的那些x3！点=0，当我们把x3=0的点与IR结合起来形成IP时，我们称之为IP投影空间。点X3=0被称为理想点，或无穷远点，无穷远点的集合是一条直线，即无穷远线。I=(0，0，1)意味着无限远线和无限远线的任何直线的交点是(b，-a，0)，因此无限远线可以被认为是平面上所有直线方向的集合，第6页，非齐次表示(X，Y)，射影变换2D的射影几何中点和点的齐次表示(X，Y，1)，axbyc=0，向量(a，b，C)。当三维射影几何中的点x以齐次形式表示时，需要一个四维向量。齐次向量X=(x1，x2，x3，x4)对应于非齐次坐标(X，Y，Z)。当X=x1/x4，Y=x2/x4，Z=x3/x4时。当x4=0时，齐次点x表示无穷远点。第7页，平面、直线和二次曲面的表达式和变换线性公式：ax乘以c=0，向量(a，b，c)。平面公式：1X 2Y 3Z 4=0，矢量(1，2，3，4)。均匀化，X=x1/x4，Y=x2/x4，Z=x3/x4。获取1x1 2x2 3x3 4x4=0或简单的X=0。指示点x在上，第8页，关联平面和关联关系(1)可以由三个点或直线和一个点的组合唯一确定，在一般位置(2)两个不同的平面与唯一的直线相交(3)三个不同的平面与一个点进行比较，第9页，三个点确定一个平面(1)在平面上设置三个点Xi， 然后每个点满足X=0 x11x2=02x=0 x33 ，因为一般位置，所以它们是线性独立的(2)矩阵M=X，x1，x2，X3，它由一般位置的点X和确定平面的三个点Xi组成。 当X在上时，IMI=0，因为三个点决定了一个平面，并且稍多一点，它肯定可以由X1，X2，X3线性表示，所以它不是全Imi=x1d 234-x2d 134 X3D 124-x4d 123=(d234，d134，d124，d123)是(1)的解向量，零空间，第10页，点变换下的射影变换X=HX，平面上的点的参数变换为=h 其中M是一个4*3矩阵，设置平面=(a，b，C，d)并且a是非0，那么M 可以写成m=pii3 * 3，其中p=(-b/a，-c/a，-d/a)，第11页，代表两点的连线或两个平面的交点定义了一条线，每个交点由两个参数决定，两个交点有四个参数，所以有四个自由度。 问题，四个自由度由五个变量表示。(1)零空间和生成子空间的表示，第12页，(2)普克矩阵通过反对称齐次矩阵4*4表示直线，连接两点A，B: L=AB-BAL的直线的向量表示具有如下几个性质：1 .L的秩是22，表示法有4个自由度来描述一条直线，6-23，矩阵L独立于用来确定它的点A、B。当C=A aB被取代时，得到的矩阵是l =AC -ca =A(A aB )-(aab)A =aB -ba =l，第13页，假设A和b是理想点l=(0，0，0，1) (1，0，0)-(1，0，0) (0，0，1)=矩阵反对称矩阵的4行和4列，以及由下面两个平面P，Q的交点定义的直线的对偶Plucker在点变换下，L*=h l * h ，矩阵L*可以由L通过简单的重写规则得到：L 123: L 13: L 143: L 2: L 423: L 34=L * 343: L * 423: L * 2: L * 143: L * 133: L * 12对偶性原则是12的集合即，l=l12，l13，l14，l23，l42，l34l的行列式值为0，因此假设两条直线l1和l2分别由连接A、B和A1、B1生成，则存在l12*l34 l13*l42 l14*l23=0(2)。 这些直线相交的充要条件是四个点共面，因此行列式值为零，即ia，b，a1，b1i=0。第15页，二次曲面和对偶二次曲面，XQX=0，X是一个点，q是4*4的对称矩阵。分类二次曲面的矩阵Q是对称的，可以分解为Q=Udu，U是正交矩阵，D是实对角矩阵。通过缩放U，可以得到Q=HDH，并且对于射影变换，D等价于矩阵H。让对角矩阵30 (d)的符号差定义为d中1和-1之间的差。如表16所示，秩30对角方程实现了44(1，1，1，1)X Y Z 1=0无实点2(1，1，1，-1)X Y Z=1球面0(1，1，-1)X Y=Z 1单叶双曲面33(1，1，1，0)X Y Z=0点(0，0，1) 分层群矩阵的变换失真变换性质射影变换的一般化H11H 12 H13仿射变换h21h 23 h31h 32 h33仿射a11a12tx平移旋转a21a22ty非均匀缩放001相似sr11sr12tx平移旋转sr21sr22ty均匀缩放001欧氏r11r12tx平移旋转r21r22ty001、Page 18变换分层群矩阵的失真不变性质射影在接触表面15dofvv与平行12dof01的交点R是3d旋转，T是平移，第19页，移动分解结论2.6任何特定的平移和旋转运动相当于围绕旋转轴的旋转加上沿着旋转轴的平移，0，0，x，y，y，x，s，第20页，3D欧洲运动和旋转分解，旋转轴，a，o，o，s，T，o，o，s，s，s，旋转轴，o垂直，T平行，第21页，无限平面(1)在平面投影几何中， 一个平面的仿射性质可以通过识别一条无限长的直线来度量，而它的度量性质可以通过识别它的虚原点来度量：两个平面平行的充要条件是它们的交线在 上。如果一条直线与另一条直线或一个平面在 上相交，那么在射影变换下它们是平行的(2)，无限长平面 是固定平面的充要条件是H是仿射变换(类似于P20无穷远线的求导)。 在辐射变换下，平面 是整体固定的，而不是点固定的。在特定的辐射变换中，除了 之外，可能还有一些平面保持固定，但在任何仿射变换下只有 保持不变，第22页，绝对二次曲线(1)绝对二次曲线是 上的二次曲线，满足X1 X2 X3=0X4。值得注意的是，定