同济版高等数学上册复习资料.ppt

高等数学(上)总复习,第一部分复习的重点及题型分析,第二部分高等数学(上)方法综述,第一部分复习的重点及题型分析,复习重点,三个基本计算极限,导数,积分,两个基本应用导数应用,积分应用,一个基本理论有关中值的定理及应用,一.三个基本计算(约70%),1.极限的计算(约24%),主要题型,(1)利用基本方法求极限,函数的连续性;,四则运算法则;,极限存在准则;,两个重要极限;,等价无穷小替换;,洛必塔法则.,(2)利用特殊方法求极限,导数定义;,定积分定义;,微分中值定理;,变限积分求导;,讨论左右极限.,(3)无穷小量的比较,例题分析,例1.计算,解:,解:利用等价关系,例2.设f(x)处处连续,且f(2)=3,计算,解:,化为指数形式,利用,例3.计算,解:,例4.计算,例5.计算,解:令,例6.计算,解:令,例7.计算,解:,利用等价无穷小,例8.计算,解:,例9.求,解:令,则,原式=,洛,例10.计算,解:,直接用洛必塔法则不方便,利用等价无穷小,例11.计算,解:利用微分中值定理,例12.计算,解:,洛,这是积分变量,例13.求,原式=,洛,利用等价无穷小,解:,例14.已知,解:,对所给等式左边用洛必塔法则,得,再利用,可知,求a,b.,2.导数和微分的计算(约18%),主要题型,(1)计算复合函数的导数和微分;,(2)计算隐函数的导数和微分;,(3)参数方程求一阶、二阶导数;,(4)用导数定义求特殊点的导数值;,(5)计算n阶导数.,(包括对数微分法),例题分析,例1.已知,解法1.,等式两边对x求导,得,故,解法2.等式两边取对数,得,两边对x求导,得,故,例2.已知,解：,两边取对数，得,两边对x求导,例3.证明下述函数在x=0连续且可导,证:因为,又,在x=0连续且可导.,思考:若函数改为,是否有同样的,结论?,例4.已知,解:,求,例5.设,解:,例6.设,解:,例7.设,求,解:,例8.求,解:,方法1.,利用归纳法可证,方法2.利用莱布尼兹求导公式,的n阶导数.,例9.设,求,解:,3.不定积分与定积分的计算(约28%),主要题型,(1)利用基本积分方法计算不定积分;,(2)利用基本积分方法及公式计算定积分;,(3)利用简化技巧计算积分;,(4)广义积分的计算及收敛性判别.,例题分析,例1.求,解:,令,令,例2.求,解:,例3.求,解:,原式=,例4.求,解:,例5.讨论积分,解:,的敛散性.,可见原积分发散.,例6.求,解:,例7.已知,解:对所给等式两边求导,得,求,利用“偶倍奇零”,得,例8.设,求,(P266题10),解:令,则,例9.已知,解:由已知条件得,求,例10.求,解:,利用P245例6(2),即,例11.利用递推公式计算下列广义积分,解:,(P256题3),二.两个基本应用(约24%),1.导数的应用(约16%),主要题型,(1)导数的几何应用,(2)利用导数研究函数形态,(3)求解最值问题,(4)利用导数证明恒等式,(5)利用单调性证明不等式,例1.设函数,在定义域内可导,的图形如右图所示,则导函数,的图形为.(2001考研),提示:,在某区间I内可导,则在I内,是,的极值点,例题分析,例2.证明,在,上单调增加.,证:,令,在x,x+1上利用拉氏中值定理,故当x0时,从而,在,上单调增.,得,(L.P95例4),例3.证明当x0时,证法1:设,则,故,证法2:当x0时,在x,x+1上利用拉氏中值定理,得,例4.,证明:,证:,即,（P130例1）,例5.证明当,证:归结为证,即,在(0,1)上不好判别正负号,提示:证明f(0)是f(x)在(,1)上的最大值.,说明:若改为证明当x1时,如何证明?,例5.,设,证:设,且,比较,可知,故不等式成立.,有两个根;,例6.讨论方程,有几个实根.,解:设,令,得,(最大值),注意,因此,当,时,当,时,只有一个根；,当,时,无实根.,(P151题5),例7.求双曲线,的曲率半径R,并分析何处R最小?,解:,则,利用,例8.求内接于半径为R的球内的正圆锥体的最大体积.,解:设锥体的底半径为r,高为h,如图,因ADBBDE,所以,圆锥体体积,为极大值点,在(0,2R)内只有唯一驻点,且为极大值点,故为最大,值点,最大值为,2.定积分的应用(约8%),(1)利用定积分计算面积,直角坐标方程参数方程极坐标方程,(2)利用定积分计算弧长及旋转体体积,(3)定积分的物理应用,(4)有关定积分的证明题,主要题型,例题分析,例1.求曲线,解:,设切点为,则切线方程为,令,得,与其通过原点的切线及y轴所围图形,的面积.,故所求面积为,例2.求曲线,解:,列表:,绕x轴旋转所得,旋转体的体积.,例3.求抛物线,解:,与直线,所围的图形绕y轴,旋转一周所得旋转体体积.,例4.求由圆,解:圆的方程为,围成的平面图形绕x轴旋转,一周形成的旋转体体积.,利用“偶倍奇零”,例5.证明,提示:令,得x=1,0,判别x=1为f(x)在,上的唯一极大点,故,则,时,例6.求抛物线,在(0,1)内的一条切线,使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解:设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与x,y轴的交点分别为,所求面积,且为最小点.,故所求切线为,得0,1上的唯一驻点,三.一个基本理论有关中值的问题(约5%),主要题型,(1)讨论函数的零点问题或方程根的问题,存在性,唯一性,常用介值定理;罗尔定理,利用单调性;反证法,(2)利用微分和积分中值定理证明等式或不等式,例1.叙述拉格朗日中值定理并证明之.,提示:,利用逆向思维设出满足罗尔定理的辅助函数.,例题分析,例2.设常数,至少有一正根,且不超过,证:设,则,均为正值,证明方程,若,则,为一正根,且符合题意.,若,则,由根的存在定理知,又,至少存在一个,使,即所给方程至少有一个不超过,的正根.,证明方程,例3.已知,证:先证存在性.,使,再证唯一性.,在0,1上有唯一的根.,则,因此,即,假设方程还有一根,则,无妨设x00时,F(x)可导,故连续,问a取何值时F(x)连续?,显然连续,2.注意综合试题,(1)极限与其它知识点的结合,(2)求导与积分方法的结合,