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文档简介

,第四节,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸与拐点,函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,一、单调性的判别法,定理,证,应用拉氏定理,得,例1,解,例2,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,例3,解,单调区间为,单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例4,解,单调区间为,例4,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,例5,例6,二、曲线凹凸的判定,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,定义,曲线凹凸的判定,定理1,例7,解,注意到,三、曲线的拐点及其求法,1.定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2.拐点的求法,证,方法1:,注意:,例8,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例9,解,例10,例11,试确定中的值，使曲线在拐点处的,法线通过原点.,四、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,注意：定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,1.可导函数单调性判别,在I上单调递增,在I上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,应用：利用函数的凹凸性证明不等式.,曲线的弯曲方向凹凸性;,思考题,解答,不能断定.,例,但,当时，,当时，,注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增,解答,例,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是(),提示:利用,单调增加,及,B,1.设在,.,2.曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,证明:,当,时，,有,证明:,令,则,是凸函数,即,3.,(自证),练习题1,练习题1答案,练习题2,练习题答案,有位于一直线的三个拐点.,1.求证曲线,证明：,备用题,令,得,从而三个拐点为,
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