浙江杭州求是高级中学数学一轮复习7.9立体几何中的向量方法Ⅱ学案无

7.9立体几何中的向量方法()求空间角、距离学考考查重点1.考查用向量方法求空间角的大小；2.考查简单的空间距离的计算(点面距是重点)本节复习目标1.掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法；2.会利用向量方法对距离进行转化教材链接自主学习1 空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小1如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，2如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n22. 点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d.基础知识自我测试 1 若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2，3,3)，则l与所成角的正弦值为_2 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角为_3 从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角l的大小为60，则EPF的大小为_4. 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为_5 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于_题型分类深度剖析题型一求异面直线所成的角例1如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影(1)证明：直线FG1平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值变式训练1： 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBBF1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值题型二求直线与平面所成的角例2如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值变式训练2： 已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，且AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点(1)证明：CMSN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小题型三求二面角例3(2012广东)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值变式训练3： (2011辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值题型四求空间距离例4在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离变式训练4：(2012