苏教高中数学选修23二项式定理2

二项式定理知识网络二项式定理结构简图绘龙点晴定理二项式定理： (a b ) n=cn0an cn1an-1 b 1cn ran-RBRcnnbn (nn * )将该式所表示的定理称为二项式定理，将右边的多项式称为(ab)n的二项式展开式。(a b)n展开形式的特点：(1)项目数为n 1(2)各项目的次数等于二项式的幂指数n，也就是说a和b的指数之和为n(3)字母a按降序排列，从第一项开始，次数从n按项从1减少到0，字符b按升序排列，从最初的项开始，次数从0增加到1到n(4)二项式系数从Cn0、Cn1到Cnn-1、Cnn。二项式定理的特殊表现形式：(1)在二项式定理中使用-b代表性b时，式(a-b ) n=cn0an-cn1an-1 b 1(-1 ) rcn LAN-RBR(-1 ) NC nbn，在该情况下通常为Tr 1=(-1)rCnran-rbr。(2)在二项定理中，如果a=1，则式(1b ) n=1cn-1 b-1 cn-2 b 2cn-RBRcn-nbn，在该情况下通则为Tr 1=Cnrbr。二项式定理的应用：求展开式活用例例1 求出5展开式.问题解根据二项式定理(2x 1)5=32x5 80x4 80x3 40x2 10x 1(2x 1)5的展开方程式为32x5 80x4 80x3 40x2 10x 1近似计算活用例例2根据以下精度，求出1.025的近似值(2)直到正确的0.001为止问题解决 1.025=(1 0.02)5=1如果准确地成为0.01，则只需要展开式的前三项之和，1 0.10 0.004=1.104，近似值为1.10如果准确地成为0.001，则仅展开式前4项之和，就成为1 0.10 0.004 0.00008=1.10408，近似值为1.104 .证明关系分不开的问题活用例例3 (1)求证： 32n 2-8n-9(nN* )可以被64整除(2)求证： 46n 5n 1-9可以被20整除(nN* )。问题解(1)从二项式定理展开作为原式变形的原式=32 (n1)-8 n-8-1=9n1-8(n1)-1=(81 ) n-8 (n1)-1式=8n1cn 118 cn 128 n-1cn1n-182 cn1n8cn1n1-8(n1)-1=82 8n-1 cn 118 n-2cn1n-1 cn 1181-8 (n1)-1=648n-1 Cn 118n-2 Cn 1n-1。大括号内的各个项目是正整数，其和也是正整数原式能被64整除。(2)46n 5n 1-9=4(5 1)n 5(4 1)n-9=4(5CNN 15 n-1 cn 25 n-2CNN-151 )5(4CNN 14 n-1 cn 24 n-2CNN-141 )-9=4(5CNN 15 n-1 cn 25 n-2CNN-15 )5(4CNN 14 n-1 cn 24 n-2CNN-14 )=20 (5n-1 cn15 n-2 cn25 n-3CNN-1 ) 20 (4n-1 cn14 n-2 c n24 n-3CNN-1 )因为组合的数目全部是除0以外的自然数，所以括号中的所有整数(即，46n 5n 1-9)可以被20除尽。证明恒等式活用例例4获得证书： 5n。问题解(3) n=5n。两侧同时相乘，得到5n原方程式得到证明证明有关的不等式活用例例5驾驶执照：为自然数情况问题解决本问题已转换成证书再见得到例6 已知I、m、n为正整数，且1imnniPmi(1 n)m问题解 (1)=mpimnI，8756； c2nm2c2mn2、c3nm3c3mn3、cmnmmcmmnm另外，c0nm0=c0mn0，c1nm1=c1mn1(1 m)n(1 n)m。公式二元展开式的通项式：二元的r 1项是tr1=cn ran-RBR (r=0，1，n ) (r=0，1，n )，被称为二元展开式的通项式。应用公式：(1)求有展开式的项目活用例在由展开100获得的x多项式中，系数是有理数的共享()a、第50款b、第17款c、第16款d和第15款说明1展开方程式中的每一项的系数为Cn10032=Cn10032(0n100 )为了使系数有理数，n必须是2和3的倍数，并且在0n100的情况下，仅有17个系数。问题解2如果将满足条件的数n从小到大排列，则得到最初的项为0、公差为6的等差数列0、6、12、an。最终项an满足100-6an100an=a1 6(n-1)=6n-6，1006n106获得16n17 n=17。(2)求出包含xr的项(r=0时为常数项)。活用例例8已知() 9的展开式中的x3的系数求出常数a的值。tr1=cr9 (-1 ) r () ()9- r=(-1 ) rcr 92 a9- rxr-9=3，即r=8时，(-1)8C892a=，常数a=4。例9求式(1- x ) (1- x )2(1- x ) 3(1- x ) 99 (1- x ) 100中x3的系数.问题解1x3的系数为：-(c 33 c 43 c 53c 1003 )=-(c 44 c 43 c 53c 1003 )=-(c54c 53. c 1003 )=-(c64c 63c 1003 )=.=-(c 1004 c 1003 )=-c 1014。标题2 (1- x ) (1- x )2(1- x ) 3(1- x ) 99 (1- x ) 100=。X3系数是分子中的x4系数-C1014(3)根据某个条件首先求出n或r，然后求出符合条件的项目。活用例例10已知的(x )n展开式的前3项的系数之和为129，该展开式中包含常数项吗？问题解决从问题意义上看，Cn020 Cn12 Cn222=129，n=8，tr1=c8r2rx (r=0，1，2，8 )如果有常数项的话=0，z，所以展开式中没有常数项。概念杨辉三角： n为小正整数时，二项式系数直接从下表中得到(a b) 1 1(a b )二十一二一(a b)3 1 3 3 1(a b)4 1 4 6 4 1(a b)5 1 5 10 10 5 1(a b)6 1 6 15 20 15 6 1表中各行的两端为1，除1以外的所有数据都等于其“肩”上的两个数据之和，这种表被称为杨辉三角。活用例如图所示，在由二项式系数构成杨辉三角形中，在第_行中从左到右存在第14个数与第15个数之比2: 3 .第0行1第1行1第2行1 2 1第三行131第四行十四六四一第5行1 5 10 10 5 1. 问题解答第n行中从左到右的第14和第15个数字的比率2: 3，即得到n=34 .即，在第34行中从左到右第14和第15个数之比为2: 3 .概念二项式系数：二项式定理中各组的总数CNR (r=0，1，1，n )称为二项式系数。说明：二项式系数和项的系数是两个不同的概念，后者是指项的实际系数。二项式系数性质：(1)对称性等于颈部最后两端“等距离”的两个二项式系数。 Cnm=Cnn-m。(2)增减性和最大值在n为偶数的情况下，中间的项c取最大值，在n为奇数的情况下，中间的两个项c相等，同时取最大值。(3)各二项式系数之和(a b)n的展开式的各二项式系数之和等于2n的奇数项的系数之和等于偶数项的二项公式系数之和等于2n-1。二项式系数性质的应用：有关中间项和二项式系数最大项的问题活用例在展开式中，已知第5、第6、第7项系数为等差数列.问题解是已知2，即n=7或n=14 .当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项第四系数等于第五系数n=14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项第八个系数是例13求出式(1 )100的展开式中的系数的最大的项。问题解如果r 1项的系数最大从(1)简化为2r且从(2)简化为2r由(1)和(2)得到r=64，展开式中系数的最大项为T65=C10064(x)64=C10064332x64 .(2)关于组合方程式的证明活用例例14发票：问题解1构建两种算法。 一个口袋有n个不同的白球和n个不同的红球，从这2n个球中取n个球的方法种类是。 另一方面，将取n个球的方法分为n 1类：从n个白球中取r个，从n个红球中取n-r个(r=0，1，2，n )这样的方法种类相同=因此由于(1 x)n(1 x)n=(1 x)2n，结构函数：比较双边展开表达式xn系数，且左边展开表达式xn的系数是第一因子(1 x)n展开表达式xr的系数与第二因子(1 x)n展开表达式xn-r的系数的乘积之和也就是说，(1 x)2n中的xn的系数表示为因此求多项式展开式的系数活用例例15求式(x2 3x 2)5展开式中的x的系数.注解1(x2 3x 2)5=(x 1)5(x 2)5(x 1)5的展开式中，x项的系数为C45=5，常数项为1(x 2)5的展开式中，x项的系数为24C45=80，常数项为32x项的系数为532 801=240标题2 (x23x2)5=(x23x2) (x23x2)(x23x2)根据多项式乘法规则，x系数从5个括号中的任意一个取3x项，其他括号都取乘以项2的系数，因此求出的系数为C15324=240 .问题解3(x2 3x 2)5=x2 (3x 2)5将5，3 x 2视为整体，使用二项式定理展开后由于x项仅出现在(3x 2)5中，因此x项的系数为C15324=240例16 1997=a0x 3994 a1x 3993a 3993 xa 3994(1)求出1)a0 a1 a2 a3994的值(2)a0 a2 a4 a3994和a1 a3 a5 a3993的值。问题解答(1) 1997=a0x 3994 a1x 3993a 3993 xa 3994如果x=1，则a0 a1 a2 a3994=(2 1-2)1997=1。(2)设奇项系数之和为A=a0