江苏常州高三数学教学研讨会交流材料探索性问题解法归类人教

江苏省常州市高三数学教学研讨会交流材料探索性问题解法归类常州市横林中学高三数学备课组一、高考大纲剖析2003年以前数学考试说明中能力要求没有创新意识。2004年数学考试说明：能力要求中指出，能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。其中创新意识指对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。命题基本原则中指出，创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现。在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融汇的程度越高，展示能力的区域就越宽泛，显现出的创造意识也就越强。命题时要注意试题的多样性，设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目；反映数、形运动变化的题目；研究型、探索型或开放型的题目。让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具。梳理解题程序，为考生展现其创新意识，发挥创造能力，创设广阔的空间。2005年数学考试大纲（必修+选I）：能力要求中创新意识增加了：创新意识是理性思维的高层次表现。对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创造意识也就越强。考查要求指出对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查。在考试中创设比较新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化，体现思维的发散性。精心设计考察数学主体内容，体现数学素质的试题;反映数、形运动变化的试题;研究型、探索型、开放型的试题。就近几年的数学考试大纲对比，说明高考对学生创新意识要求越来越高，近几年高考试题中对这方面考查主要通过探索性问题来实现的。那么什么是探索性问题呢?如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题。条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征。二、探索性问题题型分析探索性问题是相对于封闭性问题而言的，一般可分成这样几种：（1）条件探索型问题；（2）是否存在探索型问题；（3）结论探索型问题；（4）归纳探索型问题；（5）方案优化探索型问题；由于探索性问题没有明确的结论，需要对题目中提供的各种信息进行观察、分析、概括、猜想，得出相应的结论并给予正确的证明。解决这类问题，涉及的知识面广，对学生运用数学思想方法分析问题解决问题的能力要求较高。三、2005年高考试题中探索性问题高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题。由于这类题型没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明其难度大、要求高，是训练和考查学生的创新精神，数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型2005高考中探索性问题分量加重，在选择题、填空题、解答题中都已出现本文就2005年数学高考中出现的典型探索性问题进行分类浅析。一、条件探索型问题的解法探索性问题的明显特征是问题本身具有开放性及问题解决的过程中带有较强的探索性对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答例1（2005年湖北卷第20题）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点。（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离。解：本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），从而设的夹角为，则AC与PB所成角的余弦值为。（）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），则，由NE面PAC可得， 即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，。【点评】：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力例2（2005年湖南卷第20题）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。（）求xn+1与xn的关系式；（）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设a2，b1，为保证对任意x1（0，2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得 因为x10，所以ab。 猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变。 （）若b的值使得xn0，nN* 由xn+1xn(3bxn)， nN*， 知 0xn3b， nN*， 特别地，有0x13b。 即0b0。又因为xk+1xk(2xk)(xk1)2+110， nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1。【点评】本题是一道十分精彩的条件探索型问题，体现了探索性问题的解题特点及能力要求，执果索因，恰当运用分析法，寻找使结论成立的充分条件是解决这类问题的常用方法。二、是否存在探索型问题的解法“存在性”的探索性问题是探索性命题的热门形式，而且是一类综合性强、覆盖面大、已知条件更加隐蔽的题型，它着力要求学生根据题设条件，把握特征，对“是否存在”作出准确的判定和正确的推断，可以提高学生的判断能力和演绎推理能力。此类试题在近几年高考题中时有出现，它具有知识覆盖面大、综合性强、题意新颖、构思精巧等特点，并有相当深度和难度。 解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素 例1、（2005年江西卷第18题）已知向量。是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之。解： 。【点评】探索，常常遵循“从一般到特殊，再从特殊到一般”的思维方法先从具体、特定的实例入手，从中探测出问题的结论，再经过严格的论证，执果索因结合分析的方法，是解决是否存在型探索问题的基本思路。另外，等价转化（化归）的思想在此处通常发挥重要的作用。例2（2005年辽宁卷第21题）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（）设为点P的横坐标，证明；（）求点T的轨迹C的方程；（）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由。（）证：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 （）解：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上。当|时，由，得。又，所以T为线段F2Q的中点。在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是 （）解：C上存在点M（）使S的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S；当时，不存在满足条件的点M。当时，由，得【点评】敏锐的观察，丰富的想象，是进行有效探索的法宝充分利用题设条件是解题关键。本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证。解决这类问题的思路一般是：假设推理肯定（或否定）假设证明得出结论。三、结论探索型问题的解法这类探索性问题一般是由给定的已知条件求相应的结论。它要求学生充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这对学生分析问题归纳结论的能力有一定帮助。结论开放的探索性问题，往往结论不确定、不唯一，或结论需通过类比引申推广，或结论需通过特例归纳解决这一类问题，要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法例1（2005年福建卷第16题）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题。若函数的图象与的图象关于 对称，则函数 。（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）分析：本题为结论开放题，答案不唯一，过程需学生自己设计答案：x轴， y轴，)原点， 直线【点评】对于这一类只给出了一个特定的情境，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想在给定的情境中自己去假设，去求解，去调整方法，去确定结果例2、（2005年广东卷第19题）设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程0在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论。解:由f(2x)f(2+x)，f(7x)f(7+x)得函数的对称轴为，从而知函数不是奇函数，由，从而知函数的周期为又，故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在0，10和10，0上均有有两个解，从而可知函数在0，2005上有402个解，在2005，0上有400个解，所以函数在2005，2005上有802个解。四、归纳探索型问题的解法例1（2005年北京卷第12题）已知n次多项式，如果在一种算法中，计算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算下面给出一种减少运算次数的算法：（k0， 1，2，n1）利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 次运算解：由题意知道的值需要次运算,即进行次的乘法运算可得到的结果对于这里进行了3次运算,进行了2次运算,进行1次运算,最后之间的加法运算进行了3次这样总共进行了次运算对于总共进行了次乘法运算及次加法运算所总共进行了次由改进算法可知：,运算次数从后往前算和为：次【点评】归纳是数学的基本思想方法之一，正是有了归纳数学才具有迷人的思维功能。近几年全国各地的高考题中经常可以看到归纳的影子，我们在高考备考中务必要重视归纳这种题型。归纳来自于个别具有相同或相似的个体，归纳的过程是一个从特殊到一般的过程，正确的观察是进行归纳的前提。例2（2005年上海卷第12题）用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，_。解：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，五、方案优化型探索型问题的解法寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现例(2005年全国卷III第21题)用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x，容器的体积为V，1分则V（902x）（482x）x，(0V24)5分 4x3276x2+4320xV12 x2552x+4