江苏常州高级中学高二数学斜线在平面上的射影直线和平面所成的角同步辅导教材人教

江苏常州高级中学高二数学斜线在平面上的投影、直线与平面所成的角同步指导教材一、本演讲的进度第九章直线、平面和简单几何9.6斜线在平面上的投影，直线与平面所成的角二、主要内容1 .空间正交坐标系的概念2 .空间正交坐标系中的向量以及向量运算的坐标表示3 .向量的坐标运算证明立体几何学中的相关问题，例如角与距离。三、学习指导1、在前一节的学习中，对于非共面的3个向量，通过一个基底，它们的线性组合x y z(x，y，zR )表示空间的任意向量，可知与秩序排列(x，y，z )一一对应。 为了便于研究问题，同时为了使基底的取向具有规律性，通常采用，的是两个垂直且长度为1，此时的基底称为单位正交基底，习惯用，表示。 如果创建三个坐标轴： x轴、y轴和z轴，每个坐标轴的原点为o，每个坐标轴的方向为正方向，则创建的图元称为空间正交坐标系，表示为Oxy。如图所示，初中阶段建立了右手的直角坐标系。将点o称为原点，将x轴、y轴、z轴称为坐标轴，将由任意2个坐标轴决定的平面称为坐标平面，将xOy平面、yOz平面、zOx平面等。2 .在之前的空间正交坐标系中，通过空间向量的基本定理，可以表现为=a1 a2 a3，称为规则排列(a1、a2、a3)的向量是位于空间正交坐标系Oxyz上的坐标。 因为该表示是唯一的，所以可以直接表示为=(a1，a2，a3)。直线运动一定要以=(x，y，z)(x，y，zR )的方式表达，其中，原点o是有向线段的起点，并且终点，定义(x，y，z )被称为点a在空间正交坐标系中的坐标，并且可以省略为A(x，y，z )。 在此，x、y、z分别称为点a横轴、纵轴、纵坐标.注意：点的坐标和向量坐标之间的差异和联系。 矢量的起点位于原点时，矢量的坐标是终点坐标，即矢量的起点不在原点时，矢量的坐标是终点坐标减去起点后的坐标。 即，在A(x1、y1、z1)、B(x2、y2、z2)的情况下，(x2-x1、y2-y1、z2-z1)无论是矢量坐标还是点的坐标，任一矢量与三维序列之间都一一对应. 利用三角形法则=容易证明矢量的坐标表示进一步明确了矢量的数量特征，体现了数形耦合、形数互利的思想。3 .向量的直角坐标运算如果设为=(a1，a2，a3)、=(b1，b2，b3)，则为=(a1 b1，a2 b2，a3)(a2-b2，a2-b2，a3-b3)=a1b1 a2b2 a3b3=(a1，a2，a3)(R )a1b1a2b3b3=04、角度和距离公式设为=(a1，a2，a3)、=(b1，b2，b3)|=，|=，|=cos如果已知A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)dA，B=|=利用向量的坐标演算可以通过代数演算解决立体几何的问题。 例如，使用角度式求出两个不同面的直线所成的角度，使用a1a2 b1b2 c1c2=0证明线是垂直的，线面是垂直的。(1)创建空间正交坐标系；(2)设定与点或向量相关联的坐标；(3)利用向量的坐标计算求解对应于几何问题的向量问题；6 .如何求空间正交坐标系下的点或向量坐标。 请将矢量的起点设为原点o，终点设为a。当a在x轴上时，A(x，0，0 )，x是有向线段的数目，x=OAa在y轴上时，A(0，y，0 )，y=OA当a在z轴上时，a (0，0，z )，z=OA一般来说，将投影到x轴、y轴、z轴上的点a分别设为A1、B1、C1x=OA1、y=OB1、z=OC1即，x、y、z分别是向x轴、y轴、z轴投影。再者，|x|、|y|、|z|是以OA为对角线长方体(图)的三度：长度、宽度、高度.当点a处于平面xOy、平面yOz、平面zOx中任意一个时，必定有一个坐标值为0，与上述位置对应的坐标的特征为(x，y，0 )、(0，y，z )、(x，0，z )四、典型例题例1、图中，在立方体ABCDA1B1C1D1中，m、n分别在A1A、B1B的中点求出直线CM和D1N所成的角的馀弦值。分析问题的思路首先，创建坐标系，将立方体的on长度设为1，将=，并且创建坐标向量的空间正交坐标系Dxyz。接着，求出相关点的坐标，即c、m、D1、n的4点坐标。 c (0，1，0 )，d1(0，0，1 )，m (1，0 )，n (1，1 )，在此基础上求出与向量相关的坐标。=(1，-1，)，=(1，1，- )再次使用矢量角度式求出与的角度cos，=()/(| )最后，回到立体问题，注意向量概念和立体几何概念的区别。222222222222222222222222222652异面直线CM与D1N所成角馀弦值例2、立方体ABCDA1B1C1D1中，e、f分别是BB1、CD中点(1)寻求证据： AED1F(2)求证： D1F平面ADE(3)求异面直线EF与BD1所成的角解决问题的思路分析：立方体的光子长度为1，设=，创建坐标向量的空间正交坐标系Dxyzd1(0，0，1 )，f=(0，0 )，a (1，0，0 )，e (1，1 )，=(0，1，)，=(0，-1)2222铮铮铮铮653222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡(再证明D1FAD的话=0即可1，0，0 )- 10-01=0add1f(1)AED1F，ADAE=A D1F平面ADE(4)利用角度式，分别求出，即|即可=(-1，-，-，=(-1，- 1，1 )=1=1 |=，|2222222222222652cos，=()/(|)=arccos异面直线EF与BD1所成的角为arccos例3，在立方体ABCDA1B1C1D1中，e是BC中点，p是CC1中点(1)证据要求： BD1平面C1DE；(2)求证： EC1平面A1B1P .解决问题的思路分析：(1)向量语言的转换可以包括由平面C1DE表示的两个向量的线性组合，例如证明和共面如图所示制作空间正交坐标系时，为b (1，1，0 )、D1 (0，0，1 )、e (1，0 )=(-1，- 1，1 )，1，0 )，=(0，1，1 )222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡(2)仅需要证明2)ec1与平面A1B1P中的某两条直线垂直，即平面A1B1P中的某两个向量的数积为0B1 (1，1，1 )，p (0，1 )，2222卡卡西卡卡西卡卡西653=(，0，1 )222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653另外=(0，1，0 )=056、A1B1EC1 从开始，a1b1b1p=b18756； ec1平面A1B1P例4、立方体ABCDA1B1C1D1的奥萨马长度为1、m、n分别为A1B、B1D1以上，A1M=A1B、B1N=B1D1(1)求证： MN是A1B和B1D1的共同垂线(2)求异面直线A1B和B1D1间距离。解决问题的思路分析：如图所示创建空间正交坐标系仅证书：=0、=0a1 (1，0，1 )，b (1，1，0 )=(0，1，-1)类似地，=(-1，- 1，0 )M(1)，n (，22222卡卡卡卡卡卡卡卡622222222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6另外，MN是A1B、B1D1分别与交叉MN是A1B和B1D1的共同垂线(3) dM，N= MN=、即异面直线A1B与B1D1距离例5、在立方体ABCDA1B1C1D1中，o是AC与BD的交点，m是D1D的中点(1)寻求证据： B1O平面MAC(2)求出异面直线B1O与D1C所成的角的大小解决问题的思路分析：如图所示创建空间正交坐标系时，a (1，0，0 )、c (0，1，0 )、b (1，1，0 )、c1(0，1，1 )、o (，)、b1(1，1，1 )、m (0，0 )，=()，=(1，0，)，=(0，1，)；=0=0卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡艾653即B1OMA、B1OMC又mamc=m8756； b1o平面MAC(2)757；=(0，1，-1)=，|，|，|=cos，=()/(|)=arccos异面直线D1C与B1O所成角为arccos注意：从以上几个例子可以看出，向量解决立体几何问题，重视计算，技能要求稍高，但难易度比传统几何的逻辑思维和空间想象低得多，几乎不需要特殊技术的向量法可以说是“程序”的方法右手正交坐标系成立后，如何求出点的坐标在这里，需要一定的空间想象力，能够正确地进行投影(分解)。通常，使用向量角度式证明几何学的角和垂直问题的向量距离式，求出线段的长度，用数乘向量证明共线(共面)问题。同步练习选择题1 .给出以下命题：如果点(x，y，z )在xoy平面内，则z=0如果点(x，y，z )在yoz平面内，则x=0如果点(x，y，z )在zox平面内，则y=0点(x，y，z )在y轴上时，y0其中正确命题的数目如下：a、1 B、2 C、3 D、42、以下命题之所以错误a、关于点(x，y，z)xoy平面的对称点是(x，y，-z )b、关于点(x，y，z)yoz平面的对称点是(-x，y，z )c、点(x，y，z )关于zox平面的对称点是(x，-y，z )d、关于点(x、y、z )原点的对称点为(-x、-y、z )3 .在已知=(2，- 1，3 )、=(-4，2，x )的情况下，如果与之间的角度为钝角，则x取值范围a、(-，) b、(-，2) C、(，) D、(-，)4、草图长度为1的立方体ABCDA1B1C1D1，m、n分别是A1B1和BB1的中点，直线AM和CN所成的角的馀弦值如下所示a、b、c、d、5、立方体ABCDA1B1C1D1中，m、n分别是AA1和BB1的中点，DM和D1N所成的角的馀弦值为a、b、c、d、(二)填空问题；6、求出已知=(3，-3，-1)、=(2，0，3 )、=(0，0，2 )、=_。7、=(2，-3、)=(1，0，0 )为_。8、与xoy平面距离为1的点(x，y，z )满足的条件是： _。9、已知点A(3，- 5，7 )、点B(1，- 4，2 )的坐标为_，AB中点坐标为_ _ _ _ _。10 .如果知道a (3，2，1 )、b (1，0，4 )，则满足到a、b两点距离相等的点(x，y，z )的坐标的条件是.(3)解答问题11 .在草图长度为1的立方体ABCDA1B1C1D1中，e、f分别是D1D、DB的中点，g是棱CD上的中点，CG=CD，h是C1G的中点(1)求证： EFB1C(2)求出ef和C1G所成角的馀弦值(3)求出FH的长度12、长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a、BC=b、AA1=c、(ab )求出异形面直线D1B与AC所成角的馀弦值。13、m、n分别是立方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点(1)求出Mn和CD所成的角度(2)求Mn和AD所成的角。14、在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2AA1=2BC，e是C1D1中点，求出DE平面EBC .15、立方体ABCDA1B1C1D1，其中e是CD的中点(1)寻求证据： EB1AD1；(2)求出d1e和A1C所成的角的馀弦值。参考答案(一)填空问题；全神贯注地集中在119号编辑71、c二、d3、a4、b五、b(二)填空问题；6、-16008，z19、(-2，1，-5)、(2，)10，4 x4y-6 z3=0(3)解答问题以11、(1)d为原点，设=，生成坐标向量的空间正交坐标系。=(-1，0，-1)，=0；(2)、-1)、cos、(3)H(0)，dF，H=，FH=。12、如图所示制作坐标系时，成为=(-b，-a，c )、=(-b，a，0 )、cos、=。bd1和AC所成角馀弦值1-3 .如图所示建立空间