运用曲线系解曲线方程问题辅导不分本

运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在解析几何中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。引入：高中数学第二册（上）P88第4题是：如果两条曲线方程是f1(x，y)0和f2(x，y)0，它们的交点是P（x0，y0），求证：方程f1(x，y)f2（x，y）0的曲线也经过点P（是任意常数）。由此结论可得出：经过两曲线f1(x，y)0和f2（x，y）0交点的曲线系方程为：f1（x，y）f2（x，y）0。利用此结论可得出相关曲线系方程。一. 直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。几种常见的直线系方程：（1）过已知点P（x0，y0）的直线系方程yy0k（xx0）（k为参数）（2）斜率为k的直线系方程ykxb（b是参数）（3）与已知直线AxByC0平行的直线系方程AxBy0（为参数）（4）与已知直线AxByC0垂直的直线系方程BxAy0（为参数）（5）过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1（A2xB2yC2）0（为参数）【例1】已知直线l1：xy20与l2：2x3y30，求经过的交点且与已知直线3xy10平行的直线L的方程。解：设直线L的方程为2x3y3(xy2)0。（2）x(3)230。L与直线3xy10平行，。解得：。所以直线L的方程为：15x5y160【例2】求证：m为任意实数时，直线(m1)x(2m1)ym5恒过一定点P，并求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x2y1)(xy5)0，即，直线过定点P（9，4）注：方程可看作经过两直线交点的直线系。二. 圆系概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（xx0）2（yy0）2r2，x0、y0为常数，r为参数。（2）过两已知圆C1：f1（x，y）x2y2D1xE1yF10。和C2：f2（x，y）x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为：x2y2D1xE1yF1（x2y2D2xE2yF2）0（1）若1时，变为（D1D2）x（E1E2）yF1F20，则表示过两圆的交点的直线。其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线。（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线L：AxByC0与圆C：x2y2DxEyF0相交，则过直线L与圆C交点的圆系方程为x2y2DxEyF（AxByC）0。【例3】高中数学第二册（上）P82第8题是：求经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点，并且圆心在直线xy40上的圆的方程。解：根据（2）设所求圆的方程为：x2y26x4(x2y26y28)0。即（1）x2(1)y26x6y(428)0。其中圆心为（），又该圆心在直线xy40上即，得7。所求圆方程为x2y2x7y320。【例4】高中数学第二册（上）P72第9题是：求经过两条曲线x2y23xy0 和3x23y22xy0 交点的直线方程。分析：此题常规方法是联立解方程组得交点坐标，再用两点式写出直线方程。若用（2）中方法则非常简单。解：先化为圆的一般式方程：由得：即7x4y0。此为所求直线方程。【例5】求过直线2xy40和圆的交点，且过原点的圆方程。解：根据（3），设所求圆的方程为：。即，因为过原点，所以140，得。故所求圆的方程为：。三. 椭圆系（1）与椭圆（半焦距为c）共焦点的椭圆系方程：（c2）（2）与椭圆具有相同离心率的椭圆系方程为（0）。【例6】求经过点（2，3），且与椭圆9x24y236有共同焦点的椭圆方程。解：因已知椭圆焦点在y轴上，且c25，则可设所求椭圆方程为：又经过点（2，3），代入方程得：，解得：10或2（舍去）【例7】求与椭圆有相同离心率且经过点（2，）的椭圆的标准方程。解：由题意，设所求椭圆方程为。椭圆过点（2，），故。故所求的椭圆方程是。三. 双曲线系（1）与双曲线共焦点的双曲线系方程：1（0c2（2）与双曲线共渐近线的双曲线系方程为（0）（3）等轴双曲线系方程为：x2y2（0）【例8】求与双曲线共渐近线且过点A（）的双曲线方程。分析：一般解法是分类讨论，还需解方程组。利用（2）可简化运算。解：设所求双曲线方程为：（0）因为过点A（），所以。所求双曲线方程为：即。后记：应用曲线系方程不当时也会失效。【例9】求以圆x2y25与抛物线y24x的公共弦为直径的圆的方程。分析：常规解法是：由得圆方程：（x1）2y24若用曲线系方程思想，则可构造方程为（x2y25）（y24x）0（*）即x2(1)y24x50。则0时为圆方程，显然为已知圆，不是所求圆。错误原因分析：由已知两曲线方程得到方程（*），方程（*）是过已知两曲线交点的曲线，但方程（*）不能包含过