浙江高三数学全真模拟二

浙江省2019届高三数学全真模拟试题（二）（含解析）参考公式柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高；锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高；台体的体积公式：，其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高；球的表面积公式：，球的体积公式：，其中表示球的半径；如果事件，互斥，那么；如果事件，相互独立，那么；如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式简化集合的表示，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.【详解】，又，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键.2.双曲线的焦距是（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线的标准方程可以求出，再利用公式求出，焦距等于.【详解】又，所以焦距等于，故本题选D.【点睛】本题考查了双曲线的焦距，熟记之间的关系是解题的关键.3.已知是虚数单位，复数满足，则（ ）A. B. 2C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，求出复数的表达式，最后利用复数求模公式，求出复数的模.【详解】，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力.4.若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出可行解域，在可行解域内，平行移动直线，找到直线，在纵轴上的截距最小时和最大时经过的点，分别把点的坐标代入目标函数中求出最小值和最大值，注意这个最大值点不在可行解域内,也就求出了目标函数的取值范围.【详解】可行解域如下图所示：在可行解域内，平行移动直线，可以发现当直线经过点时，在纵轴上的截距最小，当经过点时，在纵轴上的截距最大，解方程组：，解方程组：,所以由于点不在可行解域内，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了线性目标函数的取值范围，画出可行解域是解题的关键，需要注意的量本题的最大值点不在可行解域内，5.将函数向左平移个单位后得函数，则在上的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】按照图象的平移规律，写出的表达式，利用正弦函数的图象，求出在上的取值范围.【详解】因为函数向左平移个单位后得函数，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了正弦型函数的平移、以及闭区间上正弦型函数的最值问题，正确求出平移后的函数解析式，是解题的关键.6.设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由，可推出，可以判断出中至少有一个大于1.由可以推出，与1的关系不确定，这样就可以选出正确答案.【详解】因为，所以，显然中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符.由，可得，与1的关系不确定，显然由“”可以推出，但是由推不出，当然可以举特例：如，符合，但是不符合，因此“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，由，判断出中至少有一个大于1，是解题的关键.7.已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由函数f(x)的图象可知，0f(0)a1，f(1)1ba0，所以1b2.又f(x)2xb，所以g(x)ex2xb，所以g(x)ex20，所以g(x)在R上单调递增，又g(0)1b0，g(1)e2b0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.8.若，4，为等差数列的连续三项，则（ ）A. 1023B. 1024C. 2047D. 2048【答案】C【解析】【分析】由，4，为等差数列的连续三项，可以求出的值，然后利用等比数列的前和公式求出的值.【详解】因为，4，为等差数列的连续三项，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了等差中项、以及等比数列的前和公式，考查了数学运算能力.9.已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】要使关于的不等式的解集中的整数恰有3个， 不等式的解集一定是在两个实数之间，这样得到不等式的解集，结合，求出的取值范围.【详解】由，可得，由题意可知不等式的解应在两根之间，即有，结合，所以，不等式的解集为或舍去，不等式的解集为，又因为，所以，故当时，不等式的解集为，这样符合题意，故，而，当满足时，就能符合题意，即，而，所以的取值范围为，故本题选C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式整数解问题，利用二次函数的性质是解题的关键.10.在中，且，则取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，可以得到，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形，根据，可知平行四边形是菱形，这样在中，可以求出菱形的边长，求出的表达式，利用，构造函数，最后求出的取值范围.【详解】，以为邻边作平行四边形，如下图：所以，因此,所以平行四边形是菱形，设，所以，在中， ， 设，所以当 时，是增函数，故，因此本题选D.【点睛】本题考查了平面加法几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.九章算术是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，股十五步。问勾中容圆，径几何？”意思是：在两条直角边分别为八步和十五步的直角三角形中容纳一个圆，请计算该圆直径的最大值为_步.【答案】6【解析】【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出斜边的长度，设三角形内切圆的半径为步，利用，以及圆的切线性质，可以求出，最后求出圆直径的最大值.【详解】如图所示：，设三角形内切圆的半径为步，由圆的切线性质可知：过圆切点的半径垂直过该切点的切线，所以有，所以该圆直径的最大值为6步.【点睛】本题考查了三角形内切圆的直径，利用面积不变构造等式是解题的关键.12.设，则_，_.【答案】 (1). ； (2). .【解析】【分析】把代入等式中，可以直接求出的值，要想求的值，可以通过的系数来求， 观察等式的右边，可以发现出现项在和这两个展开式中出现，因此先求出展开式中的系数，让这个系数等于1，即可求出的值，然后求出此时，项的系数，最后再求出展开式中的系数，可以发现等式的左边不含有项，因此有，这样求出的值.【详解】把代入等式中，得，即.在等式的右边只有在这个展开式中，才会出现项，它的系数为：，因此有,此时，的系数，展开式中的系数为，而已知等式的左边不含有这一项，因此，所以，因此【点睛】本题考查了二项式展开式某项系数问题，观察等式的特征、取特殊值是解题的关键.13.某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的最长的棱长为_，体积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】通过三视图可以知道该几何是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，求出每一条侧棱的长度，通过比较，求出最长的侧棱的长，利用棱锥的体积公式，求出四棱锥的体积.【详解】由通过三视图可以知道该几何是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，底面是直角梯形，如图所示：四棱锥，底面，在直角梯形中，可求出，在中，同理可求出：，设四棱锥的底面的面积为，所以，因此四棱锥的体积，所以该几何体的最长侧棱长为，体积为.【点睛】本题考查了通过三视图识别几何体的形状，并求其最长侧棱的长、以及体积问题，考查了空间想象力和数学运算能力.14.若函数（且）的值域为，则_；实数的取值范围为_.【答案】 (1). 5 (2). 【解析】【分析】把，代入中，可以求出的值. 求出求出当时，函数的取取值范围，然后分类的值，利用函数的单调性，分析当时，函数的取值范围，结合已知，最后求出的取值范围.【详解】因为，所以.当时，是减函数，所以.若，函数是减函数，显然当时，不符合题意；若，函数是增函数，所以，要想函数的值域为，只需，即，所以，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了已知分段函数的值域求参数问题，分类讨论、数形结合是解题的关键.15.在锐角中，角，所对应的边分别为，.若，则_；若，则的最小值为_.【答案】 (1). ； (2). 8.【解析】【分析】结合已知，直接运用余弦定理，可以求出的大小.根据三角形内角和定理、两角和的正弦公式，可将，化为，最后可化成为，根据，可得，利用基本不等式可以求出的最小值.【详解】由余弦定理可知：，而，所以有.所以有，因为，所以，解得或（舍去），即的最小值为8，当且仅当，即，或,此时角，为锐角，所以的最小值为8.【点睛】本题考查了余弦定理、综合考查了三角恒等变换，考查了基本不等式的应用、公式的变形能力.16.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）【答案】266【解析】由题知，按钱数分10元钱，可有两大类，第一类是买2本1元，4本2元的共C32C84种方法；第二类是买5本2元的书，共C85种方法共有C32C84C85266(种)17.四棱锥中，平面，已知是四边形内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点的轨迹将分成面积为的两部分，则_.【答案】【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b0）由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），=（2，0，1），=（2，b，0）. =（2，0，0）设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）则即，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，2）二面角QPDA的平面角大小为，cos=即解得b=SADQ=S梯形ABCDSADQ=S1S2，S1=，S2=S1：S2=（34）：4故答案为（34）：4点睛：本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分，它就是一条线段DQ，确定点Q在y轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.（）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；（）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值.【答案】（）；（）见解析【解析】【分析】（）设“会徽”卡有张，利用从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，可以求出，也就可以求出“五环”图案卡片的张数，然后求出抽奖者获奖的概率；（）由题意可知服从二项分布，根据二项分布的概率公式，列出的分布列，计算出的值.【详解】（）设“会徽”卡有张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，所以有，所以“五环”图案卡片的张数为4，故抽奖者获奖的概率为；（）由题意可知本题中的离散型随机变量服从二项分布，即，的分布列为：01234.【点睛】本题考查了古典概型、离散型随机变量分布列、以及期望，由题意分析出服从二项分布是解题的关键.19.已知为正三棱锥，底面边长为2，设为的中点，且，如图所示.（）求证：平面；（）求二面角平面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）.【解析】【分析】（）以中点为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用法向量证明平面；（）求出平面和平面的法向量，利用空间向量数量积，可以求出二面角的平面角的余弦值.【详解】（）以中点为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：，由于点在平面的射影为三角形的中心，设，所以，而，平面，所以平面；（）由中点坐标公式可知：，由可知: ，解得，设平面的法向量为，因为，所以，取，解得，平面的法向量为，所求二面角的平面角为，则，二面角的平面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了二面角的平面角的求法，建立空间直角坐标系，利用空间向量知识是解题的关键.20.等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设 ，求数列的前项和.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数列an的通项公式代入设bnlog3a1log3a2log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前n项和试题解析：（）设数列an的公比为q,由9a2a6得9,所以q2由条件可知q0,故q由2a13a21得2a13a1q1,所以a1故数列an的通项公式为an（）bnlog3a1log3a2log3an（12n）故所以数列的前n项和为考点：等比数列的通项公式；数列的求和21.如图所示，曲线由部分椭圆：和部分抛物线：连接而成，与的公共点为，其中所在椭圆的离心率为.（）求，的值；（）过点的直线与，分别交于点，（，中任意两点均不重合），若，求直线的方程.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）在抛物线方程中，令，求出，坐标，再由离心率的公式和之间的关系，求出；（）由（）可求出横轴上方的椭圆方程，由题意可知：过点的直线存在斜率且不能为零，故设直线方程为，代入椭圆、抛物线方程中，求出，两点坐标，由向量垂直条件，可得等式，求出的值，进而求出直线的方程.【详解】（）因为，所以，即，因此，代入椭圆方程中，得，由以及 ，可得，所以；（）由（）可求出横轴上方的椭圆方程为：，由题意可知：过点的直线存在斜率且不能为零，故设直线方程为，代入椭圆得：，故可得点的坐标为：，显然，同理将代入抛物线方程中，得，故可求得的坐标为：，解得，符合，故直线的方程为：.【点睛】本题考查了椭圆方程性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了数学运算能力.22.已知函数，其中(1)若是函数的极值点，求实数的值；(2)若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求函数的