江苏常州高级中学高二数学直线和平面平行与平面和平面平行同步辅导教材人教

江苏省常州高级中学高二数学直线和平面平行与平面和平面平行同步辅导教材一、本讲进度 第九章 直线、平面、简单几何体 93 直线和平面平行与平面和平面平行二、主要内容1、 直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定和性质；2、 两个平面平行的性质和判定。三、学习指导1、 直线和平面的位置关系用二分法分类直线l和平面 2、由于“平面”这个基本图形的引入，空间元素的位置关系在线与线的基础上，增加了直线和平面，平面与平面的位置关系，本小节主要研究直线和平面以及平面和平面无公共点的位置情形平行。在研究“平行”位置关系时，应突出一个转化的思想。如通过判定定理线线平行转化为线面平行，线面平行转化为面面平行，通过性质或性质定理，上述关系可以逆转化。具体如下表：平行关系的判定： 条件结论线线平行线面平行面面平行线线平行公理4线面平行的性质定理面面平行的性质定理线面平行线面平行的判定定理若，a，则a面面平行面面平行判定定理的推论面面平行的判定定理若，则 3、在立体几何中，除了需要添加辅助线外，通常还需要添加辅助平面。而且辅助线往往是依附在辅助平面上的。例如在证明a时，需要在内找一条直线b，使得ba。这条辅助直线b的作法 应该是：过直线作一辅助平面，与的交线即为所找直线b，图形如下：这种“欲作辅助线，先作辅助平面”的思考方法在后面学习过程中还会经常用到，希同学们理解、掌握。在这里，它还反应了性质定理与判定定理的内在联系。构造辅助平面的依据是公理三及其三个推论。四、典型例题例1、 P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA中点，求证：PC平面BDQ。分析：为了在平面BDQ内找到一条与PC平行的直线，只要设法过PC作一个与平面BDQ相交的平面，则与平面BDQ的交线即为所求直线。 PAPC=P PA、PC可确定平面PAC连AC，设ACBD=O则 OAC，OBD O平面PAC，O平面QBD又 QPA Q平面PAC，Q平面QBD 平面PAC平面BQD=OQ这就找到了过PC的辅助平面PAC与平面BDQ的交线OQ，下证OQPC即可。 O为平行四边形ABCD对角线的交点 O为BD中点又Q为PA中点 OQPC又OQ平面BQD PC平面BQD注：1、本题通过两条相交直线PA、PC构造出了辅助平面PAC；2、 在证明PCOQ时，利用中位线定理；3、 本题还可以通过构造辅助平面，利用面面平行的性质证明。延长AB至E，使AB=BE，连PE、CE B为AE中点 BQPE BECD BDEC又BQBD=B 平面BDQ平面PCE PC平面BDQ4、 在3中，若再延长EC与AD，设它们的交点为F，则一定有平面BDQ平面PEF。5、 由上面两种证法可知，构造辅助平面在立体几何证明中的重要性。 例2、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FM，求证：MN平面BCE。分析：由例1的分析可知，解题的关键是如线在直线MN的基础上构造辅助平面。法一：利用线面平行的判断定理根据构造平面的位置差异，又有下列几种途径：途径一：辅助平面由AC与MN确定延长AN交BE延长于G，连CG，CG为辅助平面CAN与平面BCE的交线，下证CGMN。 AFBE FN=AM，FB=AC NB=MC 该等式中的线段均在同一平面内 MNCG途径二：辅助平面与MN由BF确定，延长BM交AD于H，连FH，下证FHMN。类似于途径一。略途径三：分别过M、N作MM1BC，NN1BE，M1、N1为垂足。辅助平面由MM1与NN1构造，M1N1为辅助平面MM1N1N与平面BCE的交线，下证MNM1N1。 MM1AB NN1EF AC=BF，AM=FN CM=BN又AB=EF 由得MM1=NN1 MM1N1N为平行四边形 MNM1N1 MN平面BCE法二；利用面面平行的性质此时，同样要在MN基础上构造与平面BCE平行的辅助平面过M、N分别作AB的垂线，设垂足分别为M2、N2 MM2CB NN2AF AM=FN，AC=FB AM2=AN2 M2与N2重合 平面MM2N平面BCE MN平面BCE注：平面几何知识是学好立体几何的基础之一，在运用平面几何知识时，应在相关元素在同一平面的前提下进行，否则可能发生错误。如本题运用的平行线分线段成比例定理。 例3、P是ABC所在平面外一点，A，B，C分别是PBC，PCA，PAB的重心，（1） 求证：平面ABC平面ABC；（2） 求SABC ：SABC。分析：根据判定定理，欲证面面平行，应先证线面平行，而线线平行又是线面平行的基础，就本题而言，应从容易把握的线线平行着手。连PC，PA，PB分别交AB，BC，CA于D，E，F则D，E，F分别为AB，BC，CA中点，且A，B，C分别为PE，PF，PD的三等分点。 ACDE ABEF 平面ABCD平面ABC注：本题直接利用面面平行判定定理的推论，不必再将线线平面转化为线面平行。 （2） AC=DE又DE=AC AC=AC，即同理：， ABCABC 注：当两个三角形相似时，平移它们的位置到空间时，因三角形形状未变，仍然是相似的。本题在空间中运用了平面几何中的三角形相似定理，是正确的。同步练习 （一）选择题1、 a，则a平行于内的 A、一条确定的直线 B、任意一条直线 C、所有直线 D、无穷多条平行直线2、a，b是异面直线，下列结论正确的是A、过不在a，b上的任一点，可作一个平面与a，b平行B、过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b相交C、过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b都平行D、过a可以并且只可以作一平面与b平行3、设=l，a，a，则a与l的位置关系是A、异面 B、平行 C、相交 D、异面或相交4、a是平面外一条直线，下列条件可得出a的是A、a与内的一条直线不相交 B、a与内的两条直线不相交C、a与内的无数条直线不相交 D、a与内的所有直线不相交5、a是平面外的一条直线，过a作平面，使，下列结论正确的是A、这样的只可以作一个 B、这样的至少可作一个C、这样的不存在 D、这样的至多有一个6、，a，B，则在内过点B的直线中A、不存在与a平行的直线 B、不一定存在与a平行的直线C、有且只有一条与a平行的直线 D、有无穷多条与a平行的直线 （二）填空题 7、A，过点A可作_条直线与平行。8、ABCD是梯形，ABCD，AB=a，CD=b，AC与BD交于O，过O作平面与AB平行，AD=M，BC=N，则MN=_。9、a，A是另一侧的点，B，C，Da，线段AB，AC，AD交于E，F，G，若BD=4，CF=4，AF=5，则EG=_。10、ABC中，AB=5，AC=7，A=600，G是重心，过G的平面与BC平行，AB=M，AC=N，则MN=_。11、设，A、C，B、D，直线AC与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34. （1）当S在，之间时，CS=_。 （2）当S不在，之间时，CS=_。12、，ABC在平面内，P是，间一点，线段PA，PB，PC分别交于A，B，C，若BC=12，AC=5，AB=13，且PAPA=23，则ABC的面积为_。13、若ab，a，则b与的位置关系是_。14、正方体ABCDA1B1C1D1中（1） BD与平面AD1C的位置关系是_；（2） BD与平面CB1D1的位置关系是_；（3） 平面CB1D1与平面A1BD的位置关系是_。（三） 解答题15、 已知ab，a，b，求证b。16、 已知=l，a，a，求证：al。17、 正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为B1C1，A1D1，A1B1的中点，求证：平面EBD平面FGA18、已知两条异面直线a，b分别与三个平行平面，相交于点A，B，C和P，Q，R，又AR，CP与平面相交于点M，N，求证：MBNQ为平行四边形。 19、，C，B、D，点E、F分别在线段AB、CD上，且，求证：EF。参考答案（一） 选择题1、D 2、D 3、B 4、D 5、D 6、C（二） 填空题7、无数条 8、9、。 E、F、G共线，a，aEG，10、。，。11、16，272。 ACBD，（1），；（2），。12、。ABCABC，。13、平行或在平面。14、（1）相交；（2）平行；（3）平行。（三） 解答题15、过a作平面交于C，则ac，cb c，b b16、在内取不在l上一点A，过a，A作平面M，设M=b，则ab。同理，过a作平面N交于c，则ab bc b b，=l bl17、A1FB1E EFA1B1 EFAB AFBE GFB1D1 GFBD AF平面AFG，GF平面