谈特殊直线的非常规解法学习指导不分本_第1页
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谈特殊直线的非常规解法http:/www.DearEDU.com甘肃省山丹县第一中学 杨志勤 我们知道，确定一条直线的方程，常用的方法有轨迹法和方程法即待定系数法。其中点斜式，两点式都是直线方程的特殊形式。本文着重谈谈求直线方程的非常规解法。 1. 利用方程的同解原理求直线方程 例1 对于直线l上任意点（x，y），点仍在直线l上，求直线l的方程。 解：因为时，所以直线l经过原点但又不与x轴、y轴重合，设直线l的方程为 因为点在直线l上，所以 即 因为方程、所表示的直线是相同的直线 将它们分别代入方程得所求直线l的方程为 2. 利用“点在曲线上的条件”和“两点定线”原理，用观察法求直线方程 例2 已知直线与直线的交点为（3，-2），求过两点、的直线方程。 解：因为点（3，-2）为直线的公共点， 所以，构建二元一次方程由上式可知（a1，b1）、（a2、b2）的坐标适合此方程。 即方程表示的直线过、两点，故所求直线方程为 3. 利用费尔马原理，用构造法求直线方程 两个二次项系数对应成比例的两条二次曲线的公共弦所在直线的方程就是通过两个二元二次方程组同解变形所得到的一次方程。即两个上述条件的曲线的联系，肯定地得到如下结论：如果变形后是二次的就代表圆锥曲线或圆，如果变形后是一次的就代表直线，此即为费尔马原理。 3.1 构造辅助抛物线求直线方程 例3 求抛物线中，以P（4，3）为中点的弦所在直线的方程。 解：设所求弦的一个端点为A（x，y），由中点公式得另一端点为B（） 因为点A（x，y）在抛物线上， 所以，此表示过点A的抛物线方程。 因为点B（）在抛物线上 所以，此表示过点B的抛物线方程。 表示既过点A，又过点B的两抛物线的公共弦方程，由整理得，此为所求弦所在直线方程。 3.2 构造辅助椭圆求直线方程 例4 过点A（2，1）引直线与椭圆相交于P、Q两点，若点A恰为线段PQ的中点，求直线PQ的方程。 解：设P（），由中点坐标公式得Q（） 因为点P、Q在椭圆上 由上述原理，整理得，此为所求直线PQ的方程。 3.3 构造辅助圆求直线方程 例5 过圆外一点P（a、b）引圆的两条切线，切点分别为M、N，求经过两个切点M、N的直线方程。 解：如图所示，以P为圆心，切线长|PM|为半径的圆与已知圆的公共弦所在直线即为所求。 因为 所以 所以以P为圆心，|PM|为半径的圆的方程为 而已
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