湖北孝感高级中学高中数学教学《一道课本习题的探索性学习》_第1页
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湖北省孝感高级中学高中数学一道课本习题的探索性学习论文 探索性学习是培养学生能力的有效途径之一，笔者从一道课本习题出发，引导学生在课堂上积极求索，突破和创新，积极参与，兴趣盎然，取得了良好的效果。1原题呈现原题（普通高中课程标准实验教科书数学必修4第144页第5题）设利用三角变换，估计在时的取值情况，进而对取一般值时的取值范围作出一个猜想。 倘若仅满足把答案猜想出来，无异于“入宝山而空返”，学生也意犹未尽，猜想是否正确？该怎样证明呢？笔者在课堂上让学生探索其证明思路和方法。2猜想的多角度证明 生1：既然是2k 次方，可以考虑用二项式定理将其展开，但不能合并，于是可以先用二倍角公式即可。具体过程由学生共同完成后整理如下：证法1（利用二倍角公式和二项式定理证明）因为 而所以由不等式和组合数的性质得所以生2：我是从函数角度考虑的，通过同角关系式，可以构造幂函数，再利用导数知识证明，具体过程如下：证法2（通过构造函数，利用导数知识证明）令则当时，猜想成立；当时，由得 当时，当时，故在上单减，在上单增，故又所以生3：我考虑的是要证明的结论与正整数有关，故可以利用数学归纳法证明。证法3（利用数学归纳法证明）用数学归纳法证明当时，当时，结论显然成立；假设和时结论成立，即则时，注意到，一方面另一方面故即也成立。综合由第二数学归纳法知， 师：还有没有其它证明方法呢？能否从凸函数的性质考虑呢？生4：哦！我明白了，可以利用不等式的性质和下凸函数的性质证明，具体过程如下： 证法4（利用不等式的性质和下凸函数的性质证明）原结论等价于证明
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