赢在物理一轮配套练习7.5直线、平面垂直的判定及其性质理苏教

第五节 直线、平面垂直的判定及其性质强化训练当堂巩固1.PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是 ( )平面PAB平面PBC 平面PAB平面PAD 平面PAB平面PCD 平面PAB平面PACA.B.C.D.答案：A解析:易证BC平面PAB，则平面PAB平面PBC；又ADBC，故AD平面PAB，则平面PAD平面PAB，因此选A.2.设a、b、c表示三条直线，、表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是 ( )A.c，若c，则B.b，c，若c，则bcC.b，若b，则D.b，c是a在内的射影，若bc，则ba答案：C解析:C选项的逆命题为b，若则b.因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面,所以此逆命题不正确.故选C.3.已知a、b是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题:若a，a，则；若，则；若，a，b，则ab；若，=a，=b，则ab.其中正确命题的序号有 .答案：解析:垂直于同一直线的两平面平行，正确；与也可能相交，错；a、b也可异面，错；由面面平行性质知，ab，正确.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=90.(1)求证:PCBC;(2)求点A到平面PBC的距离.(1)证明:PD平面ABCD,BC平面ABCD,PDBC.由BCD=90,得BCDC.又PDDC=D,PD平面PCD,DC平面PCD,BC平面PCD.PC平面PCD,PCBC. (2)解:连接AC,设点A到平面PBC的距离为h.ABDC,BCD=90,ABC=90.从而由AB=2,BC=1,得ABC的面积.由PD平面ABCD及PD=1,得三棱锥PABC的体积V=PD=.因为PD平面ABCD,DC平面ABCD,所以PDDC.又PD=DC=1,所以PC=.由PCBC,BC=1,得PBC的面积,由V=h=h=,得h=.因此,点A到平面PBC的距离为.课后作业巩固提升题组一 线面垂直的判定与性质1.设a、b是不同的直线，、是不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ( )A.若ab，a，则bB.若a，则aC.若a，则aD.若ab，a，b，则答案：D解析:A中，b可能在 内；B中，a可能在内，也可能与平行或相交(不垂直)；C中，a可能在内；D中，ab，a，则b或b，又b，.2.若a、b是空间两条不同的直线，、是空间的两个不同的平面，则a的一个充分条件是 ( )A.a，B.a，C.ab，bD.a，答案：D解析:只有选项D，a，a.3.如图,已知四边形ABCD是矩形,且PA平面ABCD,下列结论中不正确的是 ( )A.PBBCB.PDCDC.PBBDD.PABD答案：C解析:由线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可知A,B,D正确.4.m、n是空间两条不同的直线，、是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是.m，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.答案：解析:显然正确；错误，n还可能在内；错误，n可能与相交但不垂直；正确.5.给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的 ( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件答案：B题组二 平面与平面垂直的判定与性质6.在正方体ABCD中,找一个平面与平面垂直,则该平面是 .(写出满足条件的一个平面即可)答案：平面解析:连接,在正方形又AB平面平面，AB.又AB=A,平面，又，故平面平面 .7.如图,在斜三棱柱ABC-中，BAC=90AC，则在底面ABC上的射影H必在 ( )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部答案：A解析:由ACAB，AC，得AC平面，AC平面ABC，平面平面ABC，在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上.8.如图所示,四边形ABCD是矩形,PA平面ABCD,则图中互相垂直的平面共有 ( )A.3对B.4对C.5对D.6对答案：D解析：PA面ABCD,且PA面PAB,PA面PAD,PA面PAC,面PAB和面PAC和面PAD都与面ABCD垂直.又ADPA,ADAB,AD面PAB.又AD面PAD,面PAB面PAD.同理可证面PBC面PAB,面PCD面PAD.9.如图,圆柱内有一个三棱柱ABC-,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O的直径.(1)证明:平面;(2)设AB= ,在圆柱内随机选取一点,记该点取自于三棱柱ABC-内的概率为p.()当点C在圆周上运动时,求p的最大值;()记平面与平面所成的角为(090).当p取最大值时,求cos的值.解法一: (1)平面ABC,BC平面ABC,BC.AB是圆O的直径,BCAC.又AC=A,BC平面.而BC平面,所以平面平面.(2)()设圆柱的底面半径为r,则AB=2r,故三棱柱ABC的体积ACBC2r=ACBCr.又当且仅当AC=BC=r时等号成立.从而, .而圆柱的体积,故,当且仅当AC=BC=r,即OCAB时等号成立.所以,p的最大值等于.()由()可知,p取最大值时,OCAB.于是,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz(如图),则C(r,0,0),B(0,r,0), .BC平面, =(r,-r,0)是平面的一个法向量.设平面的法向量n=(x,y,z),由故取z=1,得平面的一个法向量为n=(0,-2,1).090,cos=|cos |=.解法二: (1)同解法一.(2)()设圆柱的底面半径为r,则AB= =2r,故三棱柱ABC-的体积V1=12ACBC2r=ACBCr.设BAC=(090),则AC=ABcos=2rcos,BC=ABsin=2rsin,由于ACBC=,当且仅当sin2=1,即=45时等号成立.故.而圆柱的体积,故,当且仅当sin2=1,即=45时等号成立.所以,p的最大值等于.()同解法一.解法三: (1)同解法一.(2)()设圆柱的底面半径为r,则,故圆柱的体积.因为p= ,所以当取得最大值时,p取得最大值.又因为点C在圆周上运动,所以当OCAB时,ABC的面积最大.进而,三棱柱ABC-的体积最大,且其最大值为2rr2r=2.故p的最大值为.()同解法一.题组三 直线、平面垂直的综合问题10.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是( )A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面ABCD.平面PAE平面ABC答案：C解析：如图所示，BCDF，BC平面PDF.A正确.由图形知BCPE,BCAE,BC平面PAE.DF平面PAE,B正确.平面ABC平面PAE(BC平面PAE).D正确.11.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 .答案：解析:如图，底面BCD为正三角形，BC=CD=DB=2.AB=AC=AD=,又由于ABAD且ACAD.AD平面ABC.12.如图, 是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足FB=FD=.(1)证明：EBFD;(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得FQ=FE,FR=FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值.解：(1)证明：连接CF.是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,EBAC.在EBF中,EB=a,FB=,.EBF为Rt,且EBFB.又FBAC=B,EB平面FBD.又FD 平面FBD,EBFD.(2)设平面BED与平面RQD的交线为DG.由FQ=FE,FR=FB,知QREB.而EB平面BDE,QR平面BDE,而平面BDE平面RQD=DG,QRDGEB.由(1)知,BE平面BDF,DG平面BDF,而DR平面BDF,BD平面BDF，DGDR,DGBD.