陕西西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高三数学联考试卷理

2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A1，2，3，6，9，B3x|xA，CxN|3xA，则BC（）A. 1，2，3B. 1，6，9C. 1，6D. 3【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出【详解】集合2，3，6，6，9，18，2，故选：D【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为x甲 ，x乙，标准差分别为甲,乙，则（）A. x甲x乙,甲x乙,甲乙C. x甲乙D. x甲x乙,甲x乙-，甲x乙-，甲乙故选：A【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eixcosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得e2i=cos2+isin2，再由三角函数的象限符号得答案【详解】由题意可得，e2i=cos2+isin2，22，cos20，则e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限故选：B【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题4.设D为ABC所在平面内一点，若BC=3CD，则下列关系中正确的是（ ）A. AD=13AB+43ACB. AD=13AB43ACC. AD=43AB+13ACD. AD=43AB13AC【答案】A【解析】BC=3CDACAB=3(ADAC)；AD=43AC13AB.故选：C.【此处有视频，请去附件查看】5.张丘建筑经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（ ）A. 18B. 20C. 21D. 25【答案】C【解析】由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织d 尺布，则305+30292d=390 ，解得d=1629 ，所以a30=5+(301)1629=21 ，故选C.6.如果对定义在R上的奇函数yf（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）x1f（x2）+x2f（x1），则称函数yf（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）sinxB. f（x）exC. f（x）x33xD. f（x）x|x|【答案】D【解析】【分析】根据题意，不等式x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1-x2)f(x1)-f(x2)0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案【详解】根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1)恒成立，则有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f(x)=sinx，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)=ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)=x3-3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f(x)=x|x|=-x2,x0,b0 的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bxay0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. 2B. 2C. 5D. 5【答案】C【解析】【分析】设P为直线bx-ay=0与MF2的交点，则OP为MF1F2的中位线，求得F2到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值【详解】设P为直线bx-ay=0与MF2的交点，则OP为MF1F2的中位线，F2(c,0)，直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|=bcb2+a2=b，且|OP|=c2-b2=a，|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，可得|MF2|-|MF1|=2a，即为2b-2a=2a，即b=2a，可得e=ca=1+b2a2=1+4=5故选：C【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题12.已知函数fx=13fx2,x21x1,x2 ，则函数g（x）xf（x）1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由g（x）xf（x）10得f（x）=1x，根据条件作出函数f（x）与h（x）=1x的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论【详解】由g（x）xf（x）10得xf（x）1，当x0时，方程xf（x）1不成立，即x0，则等价为f（x）1x，当2x4时，0x22，此时f（x）13f（x2）13（1|x21|）1313|x3|，当4x6时，2x24，此时f（x）13f（x2）13 1313|x23|1919|x5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）1，f（3）13f（1）13，f（5）13f（3）19，设h（x）1x ，则h（1）1，h（3）13，h（5）15f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知F是抛物线C：y2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x1，则|PF|_【答案】178【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可【详解】由y=2x2，得x2=12y，则p=14；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+p2=2+18=178，故答案为：178【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题14.已知实数x，y满足约束条件x+4y+204x+y70xy+20 ，则z|5x+y|的取值范围为_【答案】0，11【解析】【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可【详解】作出实数x，y满足约束条件x+4y+204x+y-70x-y+20的可行域，如图所示：作直线l0：5x+y0，再作一组平行于l0的直线l：5x+yz，当直线l经过点A时，z5x+y取得最大值，由x+4y+2=0x-y+2=0，得点A的坐标为（2，0），所以zmax5（2）+010直线经过B时，目标函数取得最小值，由x+4y+2=04x+y-7=0，解得B（2，1）函数的最小值为：10111z|5x+y|的取值范围为：0，11故答案为：0，11【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力15.在x2+1x2+23x2 的展开式中，常数项为_【答案】-40【解析】【分析】根据(x2+1x2+2)3=(x+1x)6，按照二项式定理展开，可得在(x2+1x2+2)3(x-2)的展开式中的常数项【详解】解：(x2+1x2+2)3(x-2)=(x+1x)6（x2）（x6+6x4+15x2+20+151x2+61x4+1x6）（x2），常数项是 20（2）40，故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题16.如图，已知圆柱和半径为3的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_【答案】2【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2R23；所以圆柱的体积为Vr2h（3h2）h（3hh3）；则V（h）（33h2），令V（h）0，解得h1；所以h（0，1）时，V（h）0，V（h）单调递增；h（1，3）时，V（h）0，V（h）单调递减；所以h1时，V（h）取得最大值为V（1）2故答案为：2【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=23，且23+bsinAsinB=cbsinC（1）求角A的大小；（2）求ABC的面积的最大值【答案】（1）3； （2）33.【解析】【分析】1直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果2利用1的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果【详解】1在ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=23，且23+bsinAsinB=cbsinC整理得：a+bsinAsinB=cbsinC，利用正弦定理得：a2b2=c2bc，即：cosA=b2+c2a22bc=12，由于：0A，解得：A=32由于a=23,A=3，所以：a2=b2+c22bccosA，整理得：12=b2+c2bc2bcbc=bc，所以：SABC=12bcsinA121232=33当且仅当b=c时，ABC的面积有最小值33.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18.如图1，等边ABC中，AC4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DEBC交AB于点E，沿DE将ADE向上折起，使得平面ADE平面BCDE，如图2所示（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角DAEB的余弦值都为定值，并求出这个定值【答案】（1）见解析；（2）55【解析】【分析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角DAEB的余弦值都为定值55【详解】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OAx，则OF23-x，OE=x3，B（2，23-x，0），E（x3，0，0），A（0，0，x），C（2，23-x，0），AC=（2，23-x，x），BE=（x3-2，x23，0），异面直线BE与AC垂直，ACBE=x2-143x+80，解得x=123（舍）或x=23=233，ADAC=AOAF=23323=13，图1中点D在靠近点A的三等分点处证明：（2）平面ADE的法向量n=（0，1，0），AE=（x3，0，x），BE=（x3-2，x23，0），设平面ABE的法向量m=（a，b，c），则AEm=x3a-xc=0BEm=(x3-2)a+(x-23)b=0，取a1，得m=（1，13，13），设二面角DAEB的平面角为，则cos=|mn|m|n|=1311+13+13=55，无论点D的位置如何，二面角DAEB的余弦值都为定值55【点睛】本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（，2），其中近似为样本平均值x，2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：265.1，若ZN（，2），则P（，+）0.6826，P（2，+2）0.9544【答案】（1）见解析；（2）0.9544，863200【解析】【分析】（1）由频率分布图求出95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；由（2）知ZN（100，104），从而求出P（79.6Z120.4），注意运用所给数据；设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX【详解】（1）由频率分布直方图得：95，105）的频率为：1（0.006+0.026+0.022+0.008）100.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08100质量指标值的样本方差为S2（20）20.06+（10）20.26+00.38+1020.22+2020.08104（2）由（1）知ZN（100，104），从而P（79.6Z120.4）P（100210.2Z100+210.2）0.9544；由知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX1000000.954410（10.9544）20863200【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题20.已知椭圆C过点A26,2 ，两个焦点26,0,26,0（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|6，求AOB面积的最大值【答案】（1）x236+y212=1 ；（2）9【解析】【分析】（1）由已知可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（ab0），且c=26，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为xm，由弦长求得m，可得三角形AOB的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为ykx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求【详解】解：（1）由题意，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（ab0），且c=26，2a=(26+26)2+22+(26-26)2+22=12，则a6，b2a2c212椭圆C的标准方程为x236+y212=1；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为xm，得|AB|=23336-m2，由|AB|=23336-m2=6，解得m3，此时SAOB=1263=9；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为ykx+m，联立y=kx+mx236+y212=1，得（3k2+1）x2+6kmx+3m236036k2m24（3k2+1）（3m236）432k212m2+144设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3m2-363k2+1由|AB|=1+k2(-6km3k2+1)2-12m2-1443k2+1=6，整理得：m2=3(3k2+1)(k2+3)k2+1，原点O到AB的距离d=|m|k2+1SAOB=126|m|k2+1=3m2k2+1=333(k2+1)2+4(k2+1)-4(k2+1)2=33-41(k2+1)2+41k2+1+3当1k2+1=12时，AOB面积有最大值为639综上，AOB面积的最大值为9【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.已知函数f（x）ex12ax2aR有两个极值点（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x22【答案】（1）（e，+）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f（x）exax函数f（x）ex-12ax2(aR)有两个极值点f（x）exax0有两个实数根x0时不满足上述方程，方程化为：a=exx，令g（x）=exx，（x0）利用导数已经其单调性即可得出（2）由（1）可知：ae时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1x2，x1+x22x22x11ex2x2e2-x12-x1，由ex1x1=ex2x2，因此即证明：ex1x1e2-x12-x1构造函数h（x）=exx-e2-x2-x，0x1，2x1利用导数已经其单调性即可得出【详解】（1）解：f（x）exax函数f（x）ex-12ax2(aR)有两个极值点f（x）exax0有两个实数根x0时不满足上述方程，方程化为：a=exx，令g（x）=exx，（x0）g（x）=ex(x-1)x2，可得：x0时，g（x）0，函数g（x）单调递减；0x1时，g（x）0，函数g（x）单调递减；x1时，g（x）0，函数g（x）单调递增ae时，方程f（x）exax0有两个实数根实数a的取值范围是（e，+）（2）证明：由（1）可知：ae时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1x2证明：x1+x22x22x11ex2x2e2-x12-x1，由ex1x1=ex2x2，因此即证明：ex1x1e2-x12-x1构造函数h（x）=exx-e2-x2-x，0x1，2x1h（x）=ex(x-1)x2-e2-x(2-x)+e2-x(2-x)2=（x1）(exx2-e2-x(2-x)2)，令函数u（x）=exx2，（0x）u（x）=ex(x-2)x3可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）=exx2-e2-x(2-x)2在（0，1）内单调递减v（x）v（1）0x1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）0h（x）h（1）0ex1x1e2-x12-x1因此x1+x22成立【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C的极坐标方程为4cossin2 ，直线l的参数方程为x=tcosy=1+tsin（t为参数，0）（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长【答案】（1）曲线C：y24x，顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）8【解析】【分析】（1）利用x=cosy=sin即可得出直角坐标方