湖北宜昌第二中学高三数学上学期期中理

湖北省宜昌市第二中学2020届高三数学上学期期中试题 理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合,则等于()A. B. RC. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了求函数的定义域和值域的应用问题,也考查了并集的运算问题,属于基础题求定义域得集合A,求值域得集合B,根据并集的定义写出【解答】解：集合,则故选D2. 已知其中i为虚数单位,则的虚部为()A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】解：,则的虚部为故选：B直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题3. 设,则p是q成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断,同时考查指数函数的单调性的运用,属于基础题运用指数函数的单调性,结合充分必要条件的定义,即可判断【解答】解：由可得,则由p推得q成立；若可得,推不出,由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件故选A4. 现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本,制作出如图两个等高堆积条形图,根据这两幅图中的信息,下列哪个统计结论是不正确的 A. 样本中的女生数量多于男生数量B. 样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱理科D. 样本中的女生偏爱文科【答案】D【解析】【分析】本题考查等高堆积条形图,考查学生对图形的认识,比较基础根据这两幅图中的信息,即可得出结论【解答】解：由图1知,样本中的女生数量多于男生数量；由图2知,样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量,样本中的男生偏爱理科；女生选理科的人数略多于选文科的人数故A,B,C,正确,D错误故选：D5. 已知,则()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性,增函数和减函数的定义,属基础题由指数函数和对数函数的单调性易得,从而得出a,b,c的大小关系【解答】解：,故选B6. 已知,则的值为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,解题时注意角度的范围及角度的变换,属于中档题由和的范围分别求出和的范围,然后由和的值,利用同角三角函数间的基本关系求出和的值,把所求的式子中的角变为,利用两角和的正弦函数公式化简后,将各自的值代入即可求出值【解答】解：,又,故选B7. 设等差数列的前n项和为,若,则()A. 18B. 16C. 14D. 12【答案】B【解析】解：因为,所以,又,所以公差,所以故选：B由,又,所以公差,即可求出本题考查了等差数列的前n项和,考查了等差数列的通项公式,属于基础题8. 已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解决本题的关键,属于中档题根据条件建立坐标系,求出点的坐标,利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可【解答】解：以BC中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则,设,则,则,当,时,取得最小值,故选B9. 设函数的图象与的图象关于对称,且,则()A. B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】解：与的图象关于对称的图象是的反函数, , 即,函数的图象与的图象关于对称, , , , 解得, 故选：C先求出与的反函数的解析式,再由题意的图象与的反函数的图象关于原点对称,继而求出函数的解析式,问题得以解决本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法,属于基础题10. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A,F分别为椭圆的右顶点和右焦点,过坐标原点O的直线交椭圆C于P,Q两点,线段AP的中点为M,若Q,F,M三点共线,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题设,则,则根据Q,F,M三点共线,可得,利用斜率计算公式即可得出【解答】解：设,则,则,F,M三点共线,化为：,故选：A11. 过原点O作直线的垂线,垂足为P,则P到直线的距离的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线过定点问题,考查了圆的方程,点到直线的距离公式,属于基础题整理直线方程,找到直线过的定点,则点P在以OQ为直径的圆上,将P到直线的距离的最大值转化为圆心到直线的距离处理即可【解答】解：整理得,由题意得,解得,所以直线l过定点因为,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为,半径为1,因为圆心到直线的距离为,所以P到直线的距离的最大值为故选：A12. 设函数是奇函数的导函数,当时,则使得成立的x的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系,以及不等式的解法,关键是分析与的解集根据题意,设,对求导,利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数,分析的特殊值,结合函数的单调性分析可得在区间和上,都有,结合函数的奇偶性可得在区间和上,都有,进而将不等式变形转化,可解得x的取值范围,即可得答案【解答】解：根据题意,设,其导数,又由当时,即,则有,即函数在上为减函数,又由,则在区间上,又由,则,在区间上,又由,则,则在和上,而时,故也可小于0,又由为奇函数,则在区间和上,都有,或,解可得：或,则x的取值范围是故选D二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数的定义域是_【答案】【解析】【分析】本题考查正切函数的定义域及运用,考查基本的运算能力,属于基础题由的定义域为,令,解出即可得到定义域【解答】解：由的定义域为,令,则,则定义域为,故答案为：14. 等比数列中各项均为正数,是其前n项和,且满足,则_【答案】30【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等比数列的公比为q,解得则故答案为：3015. 直线与曲线围成的封闭区域面积为_【答案】【解析】解：联立方程组,解得或,故答案为联立方程组求出两曲线的交点坐标,根据定积分的几何意义求出面积本题考查了定积分的应用,属于基础题16. 已知函数若方程恰有两个不同的实数根,则的最大值是_【答案】【解析】解：函数的图象如下：当方程恰有两个不同的实数根,时,则有,其中则令,可得在递增,在递减的最大值是的最大值是故答案为：当方程恰有两个不同的实数根,时,则有,其中则令,利用导数求解本题考查了函数零点及计算能力,考查了数形结合思想,属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求A的大小；若,求的面积【答案】解：,由正弦定理可得：,解得：,可得：,由正弦定理,可得：,【解析】由正弦定理化简已知等式可得,可得,进而可求,从而可得A的值利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值,利用正弦定理可得b,根据三角形的面积公式即可计算得解本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题18. 如图,在直四棱柱中,底面ABCD是矩形,与交于点E,证明：平面ECD求直线与平面EAC所成角的正弦值【答案】证明：因为四棱柱是直四棱柱,所以平面ABCD,则又,所以平面,所以因为,所以是正方形,所以又,所以平面ECD解：建立如图所示的坐标系,与交于点E,0,0,4,4,所以2,4,设平面EAC的法向量为y,可得,即,不妨1,直线与平面EAC所成角的正弦值：【解析】证明,推出平面,得到证明即可证明平面ECD建立坐标系,求出平面的法向量,利用空间向量的数量积求解直线与平面EAC所成角的正弦值本题考查直线与平面所成角的求法,直线与平面垂直的判断定理的应用；19. 已知数列的前n项和为,数列满足,求数列的通项公式；求数列的通项公式；若,求数列的前n项和【答案】解： ,因此当时,满足上式,所以,累加得,又上式对于也成立,因为,得【解析】本题考查了数列的求和,数列的递推关系和错位相减法,属较难题本小题考查由数列的前n项和公式求数列的通项公式,利用数列的求和中与关系计算得结论,注意验证时的情况本小题考查利用数列的递推关系求数列的通项公式,结合数列的递推关系的特点,可以用累加法计算得结论本小题考查数列求和,根据数列特点可以利用错位相减法计算得结论20. 已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍,且点在椭圆E上求椭圆E的方程；过点任作一条直线l,l与椭圆E交于不同于P点的A、B两点,l与直线m：交于C点,记直线PA、PB、PC的斜率分别为、试探究与的关系,并证明你的结论【答案】解：因为椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为,所以依题意有：,故可设椭圆E的方程为：,因为点在椭圆E上,所以将其代入椭圆E的方程得椭圆E的方程为依题意,直线l不可能与x轴垂直,故可设直线l的方程为：即,为l与椭圆E的两个交点将代入方程化简得：所以,又由,解得,即C点的坐标为,所以因此,与的关系为：【解析】建立方程求出a,b的值；通过联立方程组,根据根与系数关系,找到的表达式,再建立方程求出C的坐标,找到的表达式,从而确定其关系本题主要考查椭圆性质、方程以及直线与椭圆之间的关系,属于较难题目21. 已知函数求曲线在处的切线方程；函数在区间上有零点,求k的值；若不等式对任意正实数x恒成立,求正整数m的取值集合【答案】解：,切线斜率为,又,切点为,切线方程为；令,得,当时,函数单调递减；当时, 0/,函数单调递增,所以的极小值为,又,在区间上存在一个零点,此时；,在区间上存在一个零点,此时综上,k的值为0或3；当时,不等式为显然恒成立,此时；当时,不等式可化为,令,则,由可知,函数在上单调递减,且存在一个零点,此时,即,当时,即 0/,函数单调递增；当时,即,函数单调递减有极大值即最大值为,于是当时,不等式可化为,由可知,函数在上单调递增,且存在一个零点,同理可得综上可知又,正整数m的取值集合为2,【解析】求出原函数在处的导数,得到切线斜率,再求出切点坐标,利用直线方程点斜式得答案；利用导数研究原函数的单调性,结合函数零点的判定得到原函数的零点所在区间,则k值可求；当时,对于任意,不等式恒成立；当时,不等式化为,令,由可知,函数在上单调递减,且存在一个零点,得到有极大值即最大值为,于是当时,不等式化为,由可知,函数在上单调递增,且存在一个零点,得则结合,可得正整数m的取值集合为2,本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数研究函数的单调性,考查函数零点的判定,体现了数学转化思想方法,属难题22. 已知曲线：为参数,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为写出曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程若过点的直线l与曲线交于点A、B,与曲线交于点C、D,求的取值范围【答案】曲线：为参数,转换为直角坐标方程为曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为设l的参数方程：代入,得,l的参数方程：代入得,的取值范围为【解析】直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换利用直线和曲线的位置关系的应用,利用一元二次方程根和系数关系式和三角函数关系式的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,三角函数关系式的恒等变换,一元二