河南豫南六高二数学下学期期中测试理

豫南六市2018-2019学年高二下期期中测试题（理科数学）一、选择题.1.是虚数单位，已知复数，则复数对应点落在（ ）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】C【解析】【分析】根据复数运算法则计算得到，从而得到对应点的坐标，进而确定所处象限.【详解】对应的点的坐标为则对应的点位于第二象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数的几何意义，关键在于能够通过复数运算法则对复数进行化简，属于基础题.2.已知，则除以15的余数为（ ）A. 1B. 3C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】将化为，展开后可知除第一项外，其余各项均能被整除，从而可知余数为.【详解】由题意知：可知在展开式中，除第一项外，其余各项均能被整除除以的余数为本题正确选项：【点睛】本题考查余数的求解问题，关键是能够被除数表示为与除数有关的二项式的形式，从而可根据展开式确定余数.3.求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积错误的为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据定积分知识，可确定正确；利用图形的对称性可将转变为；利用反函数的思想，结合定积分可确定所求面积为，错误，结合图形对称性可知正确.【详解】曲线，直线及轴所围成的图形如下图阴影部分所示：则阴影部分面积可表示为：，可知正确；根据对称性可知，阴影部分面积可表示为：，可知正确；由得：；由得：可画出图象如下图所示：则阴影部分面积可表示为：，可知错误；根据对称性可知：阴影部分面积可表示为：，可知正确.本题正确选项：【点睛】本题考查利用定积分来求解曲边梯形面积的问题，关键是能够准确确定两函数的位置关系，同时结合图形的对称性将面积进行等量转化.4.设复数的共轭复数是，且，又复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时在复平面上以，三点为顶点的图形是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】假设，根据模长公式构造关于的函数，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状.【详解】 可设当时，取最大值即当，即时，取最大值此时，；，且该图形为等腰三角形本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的应用和求解、复数的几何意义.关键在于能够根据的模长将假设为，从而可利用三角函数的知识确定的最大值，根据复数几何意义可确定对应的点的坐标，进而可求得三角形的各个边长.5.(11)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意，f（x）2，则f(x)2x+4的解集为（ ）来源A. (-1,1)B. (-1，+)C. (-,-1)D. (-,+)【答案】B【解析】试题分析：依题意可设，所以.所以函数在R上单调递增又因为.所以要使，只需要.故选B.考点：1.函数的求导.2.函数的单调性.3构建新的函数的思想.6.等比数列中，函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将函数看做与的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入可求得；根据等比数列性质可求得结果.【详解】又本题正确选项：【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.7.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：设F（x）=f （x）g（x），当x0时，F（x）=f（x）g（x）+f （x）g（x）0F（x）在R上为增函数F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）g （x）=-F（x）故F（x）为（-，0）（0，+）上的奇函数F（x）在R+上亦为增函数已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0构造如图的F（x）的图象，可知F（x）0的解集为x（-，-3）（0，3）故选D8.已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据切线斜率可求得；进而可得到的通项公式，采用裂项相消法求得数列的前项的和.【详解】由题意得： ，解得： 本题正确选项：【点睛】本题考查裂项相消法求数列前项和的问题，关键是能够利用导数的几何意义求得数列的通项公式.9.已知，函数的导数，若在处取得极大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】利用积分求解出；根据的符号和与之间的大小关系，结合二次函数确定导函数的符号，得到的单调性，符合在处左增右减时的的取值范围是满足题意的，从而得到所求范围.【详解】，即则当或时，不存在极值，不合题意当时或时，此时单调递减时，此时单调递增则在处取得极大值，满足题意当时或时，此时单调递增时，此时单调递减则处取得极小值，不满足题意当时或时，此时单调递增时，此时单调递减则在处取得极大值，满足题意综上所述：或【点睛】本题考查根据函数的极值点和极值求解参数的取值范围问题，关键是能够根据二次函数根的分布情况确定二次函数的图象，从而得到导函数的符号，确定原函数的单调性.10.二维空间中圆一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知, 四维测度的导数,则本题选择B选项.点睛：一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误11.设，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：令，则，所以函数为增函数，所以，所以，即，所以；又因为，所以，故应选.考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.12.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（ ）A. 在上单调递增B. 在上单调递减C. 在上有极大值D. 在上有极小值【答案】D【解析】试题分析：所以，又，得，即所以，所以在单调递减故答案选考点：1.导数的应用；2.构造函数.二、填空题.13.直线过点，且与曲线在点处的切线相互垂直，则直线的方程为_；【答案】x-y+4=0【解析】试题分析：根据题意，求解导数，直线l与曲线在点（1，-1）处的切线相互垂直，直线l的斜率为1直线l过点（-1，3），直线l的方程为y-3=x+1，即x-y+4=0故答案为：x-y+4=0考点：直线的方程点评：本题考查求直线的方程，考查导数的几何意义，两条直线的位置关系，正确求出切线的斜率是关键14.设的展开式中的系数为，二项式系数为，则的值为_.【答案】4【解析】【分析】列出展开式的通项公式，可知当时，为的项，从而可确定二项式系数和系数，作比得到结果.【详解】展开式通项公式为：当，即时， 【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项的系数、二项式系数的问题，属于基础题.15.设(，是两两不等的常数)，则的值是_.【答案】0【解析】，16.设函数，对任意x1，x2（0，+），不等式恒成立，则正数k的取值范围是_【答案】【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时，取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.三、解答题.17.已知复数，(，为虚数单位). (1)若是纯虚数，求实数的值.(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：（1）先运用复数乘法计算，再依据虚数的定义建立方程求解；（2）借助（1）的计算结果，依据题设条件“复数在复平面上对应的点在第二象限”建立不等式组，再结合条件“”，求参数的取值范围。解：（1）依据 根据题意是纯虚数，故， 且 ， 故； （2）依， 根据题意在复平面上对应的点在第二象限，可得 综上，实数的取值范围为 18.设（1）求的单调区间；（2）求函数在上的最值【答案】(1) 函数单调增区间是，单调递减区间是. (2)-6, .【解析】试题分析：(1)根据定积分的运算法则可得， 求出，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(2)根据单调性求出极值，比较极值与区间端点函数值的大小即可得到函数在上的最值.试题解析：依题意得F(x)=(t2+2t-8)dt=x3+x2-8x,定义域是(0,+).(1)F(x)=x2+2x-8,令F(x)0,得x2或x-4,令F(x)0,得-4x2,由于定义域是(0,+),所以函数的单调增区间是(2,+),单调递减区间是(0,2).(2)令F(x)=0,得x=2(x=-4舍去),由于F(1)=-,F(2)=-,F(3)=-6,所以F(x)在1,3上的最大值是F(3)=-6,最小值是F(2)=-.19.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且（1）求的表达式；（2）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知设，由，求出 的值，由有两个相等实根有，求出的值，得出的表达式；（2）由题意有，解方程求出 的值。试题解析：（1）设，则 由已知，得， 又方程有两个相等的实数根，即故； （2）依题意，得， ，整理，得，即， 20.已知数列满足，（1）求，的值，并猜想的通项公式；（2）求证：分别以，为边三角形不可能为直角三角形。【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用递推关系式，依次代入即可求得，；通过观察前三项的数字规律得到的通项公式；（2）采用反证法，假设可构成直角三角形，根据勾股定理构造关于的方程，求得结果后与已知矛盾，可知假设错误，从而证得结论.【详解】（1）令，则令，则 令，则 （2）证明：假设以，为边的三角形是直角三角形 为直角三角形的斜边，解得：或两根均为负数，与已知矛盾假设不成立，原命题成立即：以，为边的三角形不可能为直角三角形【点睛】本题考查根据递推关系式求解数列中的项和猜想通项公式、反证法证明的问题.利用反证法的关键是假设成立后，根据已知条件构造等量关系，得到与已知相矛盾的结论，从而证得结论.21.设，.（1）令，求在内的极值；（2）求证：当时，恒有【答案】（1）极小值：；无极大值；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出的解析式，通过求导可确定的单调性，根据极值的定义可确定极小值为，无极大值；（2）根据，由（1）可判断出，进而可确定在内单调递增；根据可整理出结论.【详解】（1）由题意得：，则，则可得，变化情况如下表：极小值在处取得极小值：；无极大值（2）证明：由知，的极小值对任意，恒有从而当时，恒有，故在内单调递增当时，即当时，恒有【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值、利用导数证明不等式的问题.证明的关键是能够将所证结论转化为，从而可通过函数的单调性来进行证明.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点为与的交点，且、均异于点，且，求的值。【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方