-行列式及其应用.ppt

,第三章行列式及其应用,第一节行列式的定义,第二节行列式的性质与计算,第三节行列式的应用,第一节行列式的定义,一、行列式的定义方法1（递归法）,二、行列式的定义方法2(直接法）,三、依行列式的定义计算行列式,第一节行列式的定义,一、行列式的定义方法1（递归法）：,n阶行列式是由一个n阶矩阵的元素按照某种规律计算出来的一个数，记为,一阶行列式的定义,二阶行列式的定义,由四个数排成二行二列的二阶矩阵所确定的行列式定义为：,主对角线,副对角线,例,2阶行列式的计算规则,三阶行列式的定义,由九个数排成三行三列的三阶矩阵所确定的行列式定义为：,对角线法则,注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例,解,按对角线法则，有,n阶行列式的代数余子式,n阶矩阵所确定的行列式定义依赖n-1阶行列式来定义：,叫做元素的代数余子式,例如,n行列式的递归定义：,定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,行列式展开定理,二、行列式的定义方法2：,问题,定义,把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.,同理,在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.,例如排列32514中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,32514,定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如排列32514中，,32514,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法2,例1求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,32514,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,n阶行列式的等价定义如下,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是项的代数和;,3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;,4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;,5、的符号为,例1计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以只能等于,同理可得,解,三、依行列式的定义计算行列式,即行列式中不为零的项为,例2计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,例5,设,证明,证,由行列式定义有,由于,所以,故,第二节行列式的性质与计算,1、,2、行列式可以按行（列）提取公因式,3、行列式互换两行（列），行列式变号,4、两行列式仅某行（列）不同，行列式可以相加,5、行列式某行（列）k倍加到另一行，行列式不变,6、,7、利用行列式性质计算行列式,性质1行列式与它的转置行列式相等.,行列式称为行列式的转置行列式.,记,说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,第二节行列式的性质与计算,性质2行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面如果某一行（列）元素全为0，则行列式为0.,性质3互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证明,设行列式,是由行列式变换两行得到的,于是,则有,即当时,当时,定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明,设排列为,除外，其它元素的逆序数不改变.,对换与排列的奇偶性的关系,推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,性质6行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,7、利用行列式性质计算行列式,解,例2计算阶行列式,解,将第都加到第一列得,例3,证明,证明,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,(行列