自学考试高等数学第一类换元法(凑微分法)

.,复习：,凑微分,.,部分常用的凑微分:,(3),(4),(5),(6),(7),.,.,.,完,.,高等数学,4.2换元积分法,.,第一类换元法(凑微分法),问题,?,观察,从公式,令,则有,解法,即,.,第一类换元法(凑微分法),.,第一类换元法(凑微分法),一般地,即,则,回代,.,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,定理1,.,例1,解,求不定积分,利用凑微分公式,所以,完,.,例2,解,求不定积分,注:,一般情形:,完,.,例3,解,计算不定积分,注:,一般情形:,完,.,例4,解,计算不定积分,注:,对变量代换比较熟练后,可省去书写中间变量,的换元和回代过程.,完,.,例5,解,求不定积分,注:,一般情形:,.,例6,求下列不定积分,解,.,例6,求下列不定积分,解,.,例6,求下列不定积分,解,注:,一般情形:,完,.,例7,求下列不定积分,解,(1),(2),原式,原式,.,例7,求下列不定积分,解,(1),(2),原式,原式,.,例7,求下列不定积分,解,(1),(2),原式,原式,完,.,例8,求下列不定积分,(1),解,.,例8,求下列不定积分,解,.,例8,求下列不定积分,解,注:,一般情形:,完,.,例9,解法一,求不定积分,原式,解法二,原式,解法三,原式,注:,一般情形:,完,.,例10,求下列不定积分,解,(2),原式,.,例10,求下列不定积分,解,(2),原式,.,例10,求下列不定积分,解,(2),原式,注:,当被积函数是三角函数的乘积时,项去凑微分.,折开奇次,完,.,例11,求下列不定积分,解,.,例11,求下列不定积分,解,.,例11,求下列不定积分,解,.,例11,求下列不定积分,解,.,例11,求下列不定积分,解,完,.,例12,解,计算不定积分,由于,所以,.,例12,解,计算不定积分,.,例12,解,完,计算不定积分,.,例13,解,求不定积分,原式,注:,利用平方差公式进行根式有理化是化简积分计,算的常用手段之一.,完,.,例14,求下列不定积分,解,.,例14,求下列不定积分,解,.,例14,求下列不定积分,解,.,例14,求下列不定积分,解,.,例14,求下列不定积分,解,完,.,例15,求下列不定积分,解,.,例15,求下列不定积分,解,.,例15,求下列不定积分,解,完,.,例16,解法一,试用换元法求不定积分,解法二,原式,原式,完,.,例17,解,求,完,.,例18,用换元法求不定积分,解,原式,完,.,例19,试用换元法求不定积分,解,原式,完,.,例20,解,试用换元法求不定积分,利用例12的结果:,得,完,.,例21,解,求不定积分,所以,因为,原式,完,.,例22,求不定积分,解,因为,它与被积函数分母相同,所以,原式,完,.,内容小结,则有换元公式,公式应用关键:,2.,.,常见的凑微分方式,积分类型,换元公式,第一类换元积分法,.,第一类换元积分法,利用积化和差公式进行变换,用公式,进行变换,化为倍角的三角函数降幂后再积分,.,1.,求下列不定积分,2.,设,求,课堂练习,完,.,1.,求下列不定积分,解,(1)原式,.,1.,求下列不定积分,解,.,1.,求下列不定积分,解,(2)解一,原式,.,1.,求下列不定积分,解,(2),.,1.,求下列不定积分,解,(2),解二,原式,.,1.,求下列不定积分,解,.,1.,