陕西吴堡吴堡中学高中数学第二章向量在中学数学中的应用例题讲解素材北师大必修4

向量在中学数学中的应用由于向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的一个交汇点，从而使它成为解决数学问题的重要工具因此，在教学中除了让学生掌握“平面向量”本身的内容外，还要重视培养学生应用向量解决其它问题的意识和能力本文举例说明向量在中学数学中的应用1 在平面几何中的应用例1 求证：平面四边形对角线的平方和等于四边的平方和以上两式平方后相加并整理得AC2DB2=AB2BC2CD2DA2例2 求证：三角形的三条高交于一点证 如图，在ABC中，设高AD、BE相交于O，于是只要证COAB就可以了AOBC，a(cb)=0，即acab=0同理 babc=0两式相加得acbc=0，即(ab)c=0c0，ab0，ab与c垂直，即COAB2 在平面解析几何中的应用例3 已知A(a1，a2)，B(b1，b2)，求过点A且垂直于AB的直线l的方程解 设C(x，y)是l上任一点，则(b1a1)(xa1)(b2a2)(ya2)=0这就是直线l的方程例4 设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方向，并说明它表示什么曲线yAyB0，yAyB=16p2 yAyB，yAyB=4py/x 将、代入并化简即得x2y24px=0因为A、B是原点外的两点，所以x0，故点M的轨迹是以(2p，0)为圆心，2p为半径的圆(不含点O(0，0)3 在立体几何中的应用例5 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=60()证明C1CBD；()略；()当CD/CC1的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明C1CB=C1CD=BCD=60，e1e2=e2e3=e3e1=cos60=1/2=mn(e3e2e3e1)=0，=me2me1ne3，显然A1C平面C1BD的充要条件是CA1BD且CA1DC1=(me2me1ne3)(me2me1)=0，=(me2me1ne3)(ne3me2)=(nm)(n3m/2)当且仅当m=n(m0，n0)，即CD/CC1=1时，A1C平面C1BD例6 若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直r1(r3r2)=0r10，r3r20，r1(r3r2)即SABC同理可证SBAC，SCAB4 在三角中的应用例7 证明两角差的余弦公式cos()=coscossinsin证 在直角坐标系xOy内作单位圆O，并以Ox为始边作角，角，终边交圆O于P1、P2，则2k()cos=cos()=(cos，sin)(cos，sin)=coscossinsincos()=coscossinsin5 在复数中的应用例8 已知复数z1=i(1i)3，()求argz1及|z1|；()当复数z满足|z|=1，求|zz1|的最大值()|z1|=1，例9 设复数z1，z2，z3对应的点为A，B，C，已知z1z2z3=0，|z1|=|z2|=|z3|=1，求证ABC是正三角形1=112cosBOC，cosBOC=1/2，BOC=120同理AOC=AOB=120，又OA