甘肃静宁第一中学高二数学第一次月考理

静宁一中20182019学年度高二第二学期第一次月考试题（卷）数学（理科）一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1.聊斋志异中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,则按照以上规律,若具有 “穿墙术”,则()A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 所以，选C.点睛：(一)与数字有关的推理：解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等 (二)与式子有关的推理：(1)与等式有关的推理观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(三)与图形有关的推理：与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性2.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质;由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180 归纳出所有三角形的内角和都是180;由f(x)=sinx,满足f(x)=f(x),xR,推出f(x)=sinx是奇函数;三角形内角和是180,四边形内角和是360,五边形内角和是540,由此得凸多边形内角和是(n2)180.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知：是类比推理，是归纳推理，是演绎推理，是归纳推理，据此确定所给的命题是否属于合情推理即可.【详解】逐一考查所给的推理：由圆的性质类比出球的有关性质是类比推理，属于合情推理;由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180 归纳出所有三角形的内角和都是180是归纳推理，属于合情推理;由f(x)=sinx,满足f(-x)=-f(x),xR,推出f(x)=sinx是奇函数是演绎推理，不属于合情推理;三角形内角和是180,四边形内角和是360,五边形内角和是540,由此得凸多边形内角和是(n-2)180是归纳推理，属于合情推理.综上可得：合情推理的编号为.本题选择C选项.【点睛】一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的3.设x0,y0,z0,a=x+1y,b=y+1z,c=z+1x则a、b、三数()A. 至少有一个不大于2B. 都小于2C. 至少有一个不小于2D. 都大于2【答案】C【解析】【分析】利用反证法：不妨设a、b、三数都小于2，则a+b+c6.结合均值不等式的结论可知a+b+c的最小值为6，据此即可得出结论.【详解】利用反证法：不妨设a、b、三数都小于2，即：a2,b2,c2，则a+b+c0即可确定函数的单调递增区间.【详解】由函数的解析式可得：fx=ex+x3ex=exx2,求解不等式fx0可得：x2，故函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,+).本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数求解函数单调性的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数f(x)=xx2+1，关于函数f(x)的性质，有以下四个推断：f(x)的定义域是(,+)；f(x)的值域是12,12；f(x)是奇函数；f(x)是区间（0,2）内的增函数.其中推断正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据f（x）的表达式求出其定义域，判断正确；根据基本不等式的性质求出f（x）的值域，判断正确；根据奇偶性的定义，判断正确；根据函数的单调性，判断错误详解：函数f(x)=xx2+1，f（x）的定义域是（，+），故正确； f（x）=1x+1x，x0时：f（x）12，x0时：f（x）12，故f（x）的值域是-12，12，故正确；f（x）=f（x），f（x）是奇函数，故正确；由f（x）=1-x2(x2+1)2，令f（x）0，解得：1x1，令f（x）0，解得：x1或x1，f（x）在区间（0，2）上先增后减，故错误；故答案为：点睛：本题考查了函数的定义域与值域，考查了奇偶性与单调性，考查了逻辑推理能力，属于中档题.10.若0k(2x3x2)dx=0，则k=( )A. 1B. 0C. 0或1D. 以上都不对【答案】A【解析】由题设可得k2k3=0k2(k1)=0，则k=0或k=1，应选答案C。11.曲线y=4xx3在点(1,3)处的切线方程是()A. y=7x+4B. y=7x+2C. y=x4D. y=x2【答案】D【解析】试题分析：y=43x2，k=y|x=1=1，则所求切线方程为y=x2考点：利用导数求切线方程12.设fx是定义在R上的奇函数，且f2=0,当x0时，有xfxfxx20的解集为 （ ）A. -2,02,+B. -2,00,2C. -,-22,+D. -,-20,2【答案】D【解析】【分析】分析：构造函数F(x)=f(x)x，x(,0)(0,+)，当x(0,+)时，F(x)=(f(x)x)=xf(x)f(x)x2 0等价于f(x)0，再结合图像推测f(x)0的解集。进而即可解决x2f(x)0。【详解】设F(x)=f(x)x，x(,0)(0,+)，当x(0,+)时，F(x)=(f(x)x)=xf(x)f(x)x2 0，F(x)在x(0,+)上为减函数。又F(x)=f(x)x=f(x)x=F(x)，所以F(x)为偶函数且F(2)=F(2)=0。因此F(x)的图像大致如图。由图像可知，当x(,2)时，有F(x)0，此时x0；当x(0,2)时，有F(x)0，此时x0，故f(x)0；所以 f(x)0的解集为x(,2)(0,2)。又x2f(x)0等价于f(x)0，所以x2f(x)0的解集为x(,2)(0,2).故选D。【点睛】导数在函数单调性中应用及函数不等式的求解问题，其中构造函数，利用导数与单调之间的关系得出函数的单调性是解答的关键，可以根据条件推测图像，直观得出结论或考虑某个具体的函数值，利用单调性的定义转化为自变量的不等关系，此类问题重点考查转化思想，以及分析问题和解决问题的能力。二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13.将参数方程x=1+12ty=5+32t（为参数）化成普通方程为_.【答案】3xy+53=0【解析】【分析】将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，利用代入法，即可得出结论【详解】将参数方程x=1+12ty=5+32t（t为参数），利用代入法，化成普通方程为3xy+5-3=0故答案为：3xy+5-3=0【点睛】本题考查了化参数方程为普通方程，解答此类问题的关键是如何把题目中的参数消掉，常用的方法有代入法，加减消元法等，同时注意消参后变量的范围限制，是基础题14.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是_.【答案】乙【解析】四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论.15.024x2dx_.【答案】【解析】设y4x2，则x2y24(y0)，由定积分的几何意义知024x2dx的值等于半径为2的圆的面积的14.024x2dx144.16.已知可导函数f(x)(xR)的导函数f(x)满足f(x)f(x),则不等式ef(x)f(1)ex的解集是_.【答案】(1,+)【解析】【分析】构造函数gx=fxex，结合题意确定函数的单调性，然后由函数的单调性求解不等式即可.【详解】构造函数gx=fxex，则gx=fxfxex0，故函数gx是R上的单调递增函数，注意到不等式ef(x)f(1)ex即fxexf1e1，即gxg1，由函数的单调性可得x1，故不等式ef(x)f(1)ex的解集是(1,+).【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，构造函数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)17.已知函数f(x)=x3+3x2+9x+a（1）求f(x)的单调递减区间；（2）若f(x)在区间2,2上的最大值是20，求它在该区间上的最小值.【答案】(1) （，1），（3，）(2)-7【解析】试题分析：（）先求出函数f（x）的导函数f（x），然后令f（x）0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；（）先求出端点的函数值f（2）与f（2），比较f（2）与f（2）的大小，然后根据函数f（x）在1，2上单调递增，在2，1上单调递减，得到f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间2，2上的最小值解：（）f（x）=3x2+6x+9令f（x）0，解得x1或x3，所以函数f（x）的单调递减区间为（，1），（3，+）（）因为f（2）=8+1218+a=2+a，f（2）=8+12+18+a=22+a，所以f（2）f（2）因为在（1，3）上f（x）0，所以f（x）在1，2上单调递增，又由于f（x）在2，1上单调递减，因此f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=2故f（x）=x3+3x2+9x2，因此f（1）=1+392=7，即函数f（x）在区间2，2上的最小值为7点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力【此处有视频，请去附件查看】18.已知抛物线C:y=x2+2x，在点A(0,0)，B(2,0)分别作抛物线的切线l1,l2（1）求切线l1和l2方程；（2）求抛物线C与切线l1和l2所围成的面积S【答案】（1）切线l1方程：y=2x，切线l2方程：y=2x+4；（2）23.【解析】【分析】（1）由题意可得y=-2x+2，则切线的斜率为k1=2，k2=-2，据此可得切线方程；（2）联立直线方程可得x=1y=2，由定积分的定义可得所求面积为S=012x-x2+2xdx+12(-2x+4)-x2+2xdx， 计算定积分确定面积的值即可.【详解】（1）因为y=-2x+2，A(0,0)，B(2,0)都在抛物线上，则k1=2，k2=-2，所以切线l1方程：y=2x，切线l2方程：y=-2x+4.（2）由y=2xy=-2x+4，解得x=1y=2，则两切线交点坐标为(1,2).所以抛物线C与切线l1和l2所围成的面积为S=012x-x2+2xdx+12(-2x+4)-x2+2xdx =01x2dx+12x2-4x+4dx=13x301+13x3-2x2+4x12=13+83-13-2=23.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程，利用定积分求解面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知f(x)=2axbx+lnx在x=12处取得极值，且f(1)=3（1）求a、b的值；（2）若对x14,4，f(x)c恒成立，求的取值范围【答案】（1）a=1,b=1；（2）c3ln2.【解析】【分析】（1）由题意可得f(x)=2a+bx2+1x，结合题意可知f12=0，f(1)=3，列出方程组可得a,b的值.（2）f(x)=2x2+x-1x2，结合导函数的符号可确定函数的单调性，从而求得函数的最小值，据此即可确定实数的取值范围.【详解】（1）f(x)=2a+bx2+1x，又f(x)=2ax-bx+lnx在x=12处取得极值，f12=0，又f(1)=3，即：2a+4b+2=02ab=3，解得a=1,b=-1（2）f(x)=2-1x2+1x=2x2+x-1x2，当x12,4时，f(x)0，函数单调递增；当x14,12时，f(x)0，函数单调递减；函数的解析式为fx=2x+1x+lnx，f(x)min=f12=3-ln2，所以c3-ln2【点睛】本题主要考查已知函数的极值求参数的方法，利用导函数研究恒成立问题的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知曲线C1：x=4+costy=3+sint（为参数）和曲线C2:x=8cosy=3sin(为参数).（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x=3+2ty=2+t（为参数）距离的最小值及此时Q点的坐标.【答案】（1）见解析；（2）距离最小值为855，Q点坐标为325,95.【解析】【分析】(1)消去参数和参数即可确定曲线的普通方程，然后由方程确定其表示曲线的形状和位置即可；（2）由题意可得P(-4,4)，结合中点坐标公式可设M-2+4cos,2+32sin. 利用点到直线距离公式和三角函数的性质确定距离的最小值及Q点的坐标即可.【详解】（1）分别消去曲线C1和C2中的参数，可得到C1：(x+4)2+(y-3)2=1，C2：x264+y29=1.C1是圆心为(-4,3)，半径为1的圆.C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3椭圆.（2）当t=2时，P(-4,4)，设Q(8cos,3sin)，故M-2+4cos,2+32sin. C3为直线x-2y-7=0，M到C3的距离d=554cos-3sin-13=553sin-4cos+13=555sin(-)+13,tan=43，从而当sin-=-1即cos=45，sin=-35，d取最小值855. 所以，此时Q点的坐标为325,-95.【点睛】本题主要考查参数方程及其应用，三角函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin（为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin(+4)=22.（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值以及此时P的直角坐标.【答案】（1）C1：x23+y2=1，C2：x+y4=0；（2）PQmin=2，此时P(32,12).【解析】试题分析：（1）C1的普通方程为x23+y2=1，C2的直角坐标方程为x+y4=0；（2）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin) P到C2的距离d()=|3cos+sin4|2=2|sin(+3)2|当且仅当=2k+6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(32,12).试题解析： （1）C1的普通方程为x23+y2=1，C2的直角坐标方程为x+y4=0.（2）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()=|3cos+sin4|2=2|sin(+3)2|.当且仅当=2k+6(kZ)时，d()取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(32,12).考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法