先进控制基础-变结构控制PPT课件

第二讲：滑模变结构控制,一、变结构系统的基本概念二、滑动模态的存在条件与滑动模态方程三、标量滑模控制,一、变结构系统的基本概念,1.变结构系统的定义广义地说，在控制过程（瞬态过程）中，系统结构（模型）可发生变化的系统，叫变结构系统。,如设有系统：,则此系统的特征方程为：,若a保持不变，则不论a取什么值，此系统都不会渐近稳定。,对此系统取如下Lyapunov函数：,若x1x20时，取a-2。则可保证V(x)函数的导数总为负，于是系统渐近稳定。,在上例中，我们注意到a是根据x1x2的符号来切换的，它并不维持不变，但只在间断的时刻切换，它的切换也并不只决定于x1或x2。这个系统，满足广义变结构系统的定义，但是，像这样一些广义的变结构系统还很多，这种变结构系统是一般意义下的转换控制系统。,2.滑动模态变结构的概念和定义一类变结构系统，其特殊之处在于，系统的控制有切换，而且在切换面上系统会沿着固定的轨迹产生滑动运动。这类特殊的变结构系统，叫滑动模态变结构控制系统，简称为滑模变结构控制系统。以后提到变结构系统，或变结构控制，除非有特殊说明，都是指的这一类有滑动模态的变结构系统。,20世纪50年代：前苏联学者Utkin和Emelyanov提出了变结构控制的概念，研究对象：二阶线性系统。20世纪60年代：研究对象：高阶线性单输入单输出系统。主要讨论高阶线性系统在线性切换函数下控制受限与不受限及二次型切换函数的情况。1977年：Utkin发表一篇有关变结构控制方面的综述论文，系统提出变结构控制VSC和滑模控制SMC的概方法。,此后各国学者开始研究多维滑模变结构控制系统，由规范空间扩展到了更一般的状态空间中。我国学者贡献：高为炳院士等首先提出趋近律的概念，首次提出了自由递阶的概念。,滑动模态的概念,设系统状态方程为：,式中，x1，x2为系统的状态变量，a1，a2为固定参数，u为控制函数，其中，a10，a2a1为常数。,当=时，得到一种系统结构，其中a1为常数。,从上式可知道，在这种情况下，系统的特征根是正实部复根，此时，系统的奇点为不稳定的焦点。,-10，s0(区)和x10(区)和x10，s0一直不变，而x10，则发生切换，但控制的变换是从u=x1变换成u=-x1，显然，在x1的这个变换过程中，控制力的符号没有发生改变。事实上，控制力可表达为：,若系统的运动一旦进入滑动模态，则Cx1+x20，又根据系统的状态方程，故有：,此关系式为一阶微分方程，它被用来作为描述滑动运动的方程，叫滑动模态方程或滑动方程。显然，此方程的解为：,式中，t0为进入滑模线上的初始状态。当C0时，此解稳定，故变结构系统是稳定的。由此例可见，两种都不稳定的变结构系统，若正确选择切换线，引入滑动模态之后，系统可以是稳定的。,滑动模态变结构的定义,一非线性控制系统：,确定切换函数向量为：,其具有的维数，一般等于控制的维数，寻求变结构控制：,变结构控制系统设计的问题,设计的2个问题A.选择切换函数，或者说确定切换面si=0；B.求取控制ui(x),切换函数的选择在开始的例子中，切换函数是s=Cx1+x2，这时，控制在s=Cx1+x2=0上进行切换，这个系统为单输入控制系统，切换函数只有1个。确定了切换函数，也就确定了滑动模态方程为，其稳定性与品质是线性系统中的一个简单问题。,在一般的单输入情况下，切换函数为：,其中，系数Cn=1。,对于多输入控制系统，切换函数的确定要复杂很多，有m个控制，就对应有m个切换函数。但是，不论单输入还是多输入，确定切换函数的问题，实质上是选择系统C（或系数矩阵C）的问题。,变结构控制系统设计的目标,A所有轨迹于有限的时间内达到切换面；B切换面存在滑动模态区；C滑动运动是渐近稳定的，并具有良好的动态品质。,3.变结构控制的三要素,进入切换线的条件是什么？滑动运动存在的条件是什么？滑动运动在什么条件下是稳定的？,当=时，得到一种系统结构：,当取=-a1，则特征方程为：,A.进入切换线的条件是什么？,当a20时，其根分布与相平面图分别如下,而当a20时，其根分布与相平面图分别如下,B.滑动运动存在的条件是什么？,滑模线位于x1轴和=时的双曲线轨迹的渐进线之间。如滑模线位于x2轴和=时的双曲线轨迹的渐进线之间呢？,C.滑动运动在什么条件下是稳定的?,如图所示，由于在切换线s=0两侧，相轨迹指向相对，滑动模态虽然产生，但滑动运动的方向不是趋于稳定到原点，而向着发散的方向运动。,二、滑动模态的存在条件与滑动模态方程,1.滑动模态存在的条件,从图可看出，相轨迹都指向滑动面，且达到滑动面上，相点不再脱离它的条件为：,2.滑动模态方程,如果上述不等式成立，那么在切换面上就存在滑动模态。下面研究滑动模态的数学描述式子。,消除约束法,系统在滑动面上运动时，其状态满足如下约束：,因有s(x)=0的约束，n个状态变量已不再是独立的了，它们之间只有n-1个独立变量，任意消去一个变量，如消去xn，得到一个n-1个独立变量的运动方程：,实例：二阶继电系统,由于s(x)0，所以上述方程也就是滑动模态运动方程。,为得到沿s(x)=0的滑动方程，假设由原系统方程中去掉第二个方程，并由s(x)=0中，求出x2代入第一个方程，得：,上述方程就是用来描述s(x)=0上的滑动运动的。,相变量系统的滑动模态方程,切换面sCTx=0，即：,根据各个状态之间的数学关系，故在滑动时，s(x)=0就是一个n-1阶微分方程。,等效控制法(多输入的情况),(1)滑动方程,等效控制法的要点是：令基于上述方程而确定的滑模函数si(x)(i=1,2,m)的导数为0，将所得的方程组对控制向量求解，这个解叫等效控制ueq，把它代入上述方程，所得到的方程就是理想滑动方程。,针对下面方程描述的系统，来研究等效控制法。,它的每一控制量在对应的超平面si(x)=0上发生切换。,根据等效控制法，等效控制ueq应由si(x)(i=1,2,m)的导数为0来求得。,其中，G是m*n矩阵，其行向量为si(x)的梯度向量，即有,滑动方程,上述方程是n阶的，实际上，只要用n-m阶的方程就可以描述滑动模态的运动。这是因为，根据等效控制法，等效控制ueq是在si(x)(i=1,2,m)的导数为0时求得，上述系统状态变量具有m个约束。,真实控制,考虑实际滑动运动，系统方程为,等效控制是真实控制的平均值(滑动模态区域的真实控制）,三、标量滑模控制,一般情况下，系统用如下方程来描述：,它的控制量在超平面s(x)=0上发生切换。,若想在s(x)=0上产生滑动模态，必须满足ss0。故：,1.线性定常系统的滑动模态运动,系统用如下方程来描述：,x为n维状态列向量，A为n*m矩阵，b为n维列向量。,选择超平面s(x)=CTx=0为切换面，其中CT定常的n维行向量，且Cn=1。假定在s(x)=0上产生滑动模态，用等效控制法求(3-4)的滑动方程，可得：,(3-5)式描述了沿s=0的滑动模态，此期间有：,将xn代入方程组(3-4)的前n-1个方程中，丢掉最后一个方程，得到(n-1)阶滑动方程组。,相变量系统的情况,2.线性定常系统的滑动面存在的条件,A.用全部状态构成控制的情况,假设控制是全部状态坐标的作用和,上述系统具有控制(3-8)时，则是一个有2n个线性结构的变结构系统。虽然作用不仅在s=0上发生变化，而且在坐标平面xi上发生变化，但控制仅在超平面s=0上发生切换。,假设控制是全部状态坐标的作用和，作用系数在s=0上发生切换。,当系统满足(3-11)式，则对任何x，都满足滑动模态的存在条件。即对任何x，在s=0左右和整个运动空间都有ss0。,B.用部分状态构成控制的情况,i、i是常数，是任意小的非零量，符号与（CTb）一样。,引入u可保证xi=0(i=1,2,L,k)和s=0的相交处，ss0，所以x20。,因此，当s0时，系统结构可能的变化不超过一次。滑动模态的进入条件(最简单)：滑动面存在的条件。,4、变结构控制系统的设计,设计的2个问题选择切换函数，或者说确定切换面si=0；求取控制ui(x),设计的目标有3个，即变结构控制的三个要素：A所有轨迹于有限的时间内达到切换面；B切换面存在滑动模态区；C滑动运动是渐近稳定的，并具有良好的动态品质。,不限制u时，控制的求法,设系统为：,变结构控制表示为：,切换函数s选择为：,此时系统的稳定性由切换函数s中所选择的参数来确保。,限制u时，控制的求法,因为控制受到限制，不能靠控制去保证存在条件与进入条件，此时，一切都需要依靠切换面中的参数的选取。这些参数的选取不仅决定着滑动模态的稳定性，而且还影响到切换线上的滑动模态区的大小，以及原点是否为全局稳定的问题。,设系统为：,切换函数s选择为：,变结构控制表示为：,第1种情况,直线p1和p2与切换线相交，如下图所示，则只有p1和p2两线段之间的线段满足条件，或只有这之间的线段才是滑动模态区。