湖南理科数学及详解

2008高考湖南理科数学试题及详解一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数等于A8 B8 C8i D8i 【答案】D【解析】由，易知D正确. 2“成立”是“成立”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由得，由得，所以易知选B。3已知变量x、y满足条件则的最大值是A2 B5C6D8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为代入验证知在点时,最大值是故选C. 4设随机变量服从正态分布，若，则A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】 解得，所以选B。5设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m【答案】D 【解析】由立几知识，易知D正确。6函数在区间上的最大值是A1 B C D1+【答案】C【解析】由, 故选C.7设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与A反向平行 B同向平行 C互相垂直 D既不平行也不垂直【答案】A【解析】（方法一）在ABC中，所以。（方法二）由定比分点的向量式得：以上三式相加得所以选A。8若双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A(1,2) B(2,+) C(1,5) D (5,+)【答案】B【解析】双曲线上点到准线的距离为：。或（舍去）， 故选B。9长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，则顶点A、B间的球面距离是ABCD【答案】C【解析】 设则 故选C。10设表示不超的最大整数，（如），对于给定的，定义，则当时，函数的值域是A BC D【答案】D 【解析】当x时，当时， 所以；当时，当时， 故函数的值域是，选D。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。11 。【答案】 【解析】12已知椭圆的右焦点为F，右准线为，离心率过顶点作AM，垂足为M，则直线FM的斜率等于 【答案】 【解析】13设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数的图象一定过点 【答案】【解析】由函数的图象过点得： 即函数过点 则其反函数过点所以函数的图象一定过点。14已知函数（1）若，则的定义域是 ；（2）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 【答案】 , 【解析】（1）当时，由得，所以的定义域是； （2） 当a1时，由题意知；当0a1时，为增函数，不合题意； 当a0时，在区间上是减函数。故填。15对有n(n4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和（m是给定的正整数，且），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本。用表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则= ；所有 (1ij的和等于 【答案】， 6【解析】；第二空可分：当 时, ；当 时, ；当时，；所以三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响求：（）至少有1人面试合格的概率；（）签约人数的分布列和数学期望解：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知A，B，C相互独立，且（）至少有1人面试合格的概率是 （）的可能取值为0，1，2，3 所以，的分布列是0123P的期望17（本小题满分12分） 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2 （）证明：平面PBE平面PAB；（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小解：解法一：（）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且BCD=60知，BCD是等边三角形因为E是CD的中点，所以BECD，又ABCD，所以BEAB又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PABE而AB=A，因此BE平面PAB又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（）延长AD、BE相交于点F，连结PF过点A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB，所以AH平面PBE在RtABF中，因为BAF60，所以，AF=2AB=2=AP在等腰RtPAF中，取PF的中点G，连接AG.则AGPF连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）在等腰RtPAF中，在RtPAB中，所以，在RtAHG中，故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是，（）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线从而BE平面PAB又因为平面PBE，故平面PBE平面PAB （）易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得所以 设是平面PAD的一个法向量，则由，得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是18（本小题满分12分） 数列 （）求并求数列的通项公式； （）设证明：当 解：（）因为所以 一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为（）由（）知， 得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一： （1）当时，成立。 （2）假设当时不等式成立，即 则当时， 由（1）、（2）所述，当时，即当时， 证法二： 令，则 所以当时，因此当时，于是当时，综上所述，当时， 19（本小题满分13分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点E正北55海里处有一个雷达观测站A某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+（其中sin=，）且与点A相距10海里的位置C （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（II）若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域，并说明理由解：（I）如图，AB=40，AC=10， 由于，所以由余弦定理得所以船的行驶速度为（海里/小时）（II）解法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是，BC与x轴的交点为D由题设有，,所以过点B、C的直线l的斜率，直线l的方程为。又点到直线l的距离所以船会进入警戒水域。解法二：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q。在ABC中，由余弦定理得，.从而在中，由正弦定理得，由于，所以点Q位于点A和点E之间，且过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离 在Rt中，所以船会进入警戒水域。20（本小题满分13分）若A、B是抛物线上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”。已知当时，点存在无穷多条“相关弦”。给定。（I） 证明：点的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；（）试问：点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由。解：（I）设AB为点的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是，则，两式相减得。因为，所以。设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是，则从而AB的垂直平分线l的方程为 又点在直线上，所以 而于是故点的所有“相关弦”的中点的横坐标都是。（）由（I）知，弦AB所在直线的方程是，代入中，整理得 （）则是方程（）的两个实根，且设点P的“相关弦”AB的弦长为，则 因为，于是设，则。记若，则，所以当，即时，有最大值。若，则，在区间上是减函数，所以，不存在最大值。综上所述，当时，点的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为；当时，点的“相关弦”的弦长中不存在最大值。21（本小题满分13分）已知函数。（I） 求函数的单调区间；（）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）求的最大值。解: （）函