甘肃天水一中高三数学第三次模拟考试理

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效天水市一中2019届高三第三次模拟考试理科试题（满分：150分 时间：120分钟）一、单选题（每小题5分，共60分）1若集合M=x|(x+1)(x-3)0，集合N=x|x1，则等于（ ）A(1,3) B C(-1,1)D(-3,1)2i为虚数单位，若复数(1+mi)(1+i)是纯虚数，则实数m=( )A-1 B0 C1 D0或13若满足约束条件，则z=-x2+y的最小值为( )A1 B2 C-2 D-14数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的a,b分别为8、2，则输出的n=（ ） A2B3C5D45 “不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）Am1 Bm1 Cm0 Dm26鈻矨BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则鈭燙=()A B C D7中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）A30种 B50种 C60种D90种8一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B CD9 外接圆的半径为1，圆心为O，且2OA+AB+AC=0，则CA鈰?CB=A32 B3 C3 D2310已知抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，以PF为边作一个等边三角形PFQ，若点Q在抛物线的准线上，则PF=（ ）A1 B2 C22D2311.一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A1 B2 C3 D12定义在R上的函数y=f(x)，满足f(3-x)=f(x)，f(x)为f(x)的导函数，且(x-32)f(x)0，若x13，则有（ ）Af(x1)f(x2)Bf(x1)0)的最小值为_.三、解答题（每小题12分，共60分）17已知等比数列an是递增数列，且a1+a5=172，a2a4=4(1)求数列an的通项公式 (2)若，求数列bn的前n项和Sn18某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：使用寿命材料类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元。假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：参考公式：回归直线方程为y=bx+a，其中19 在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形， ,（1）求证：；（2）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值.20已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0).过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y=-3与椭圆C相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在直线l：y=k(x+c)与椭圆C相交于E,D两点，使得？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！21已知函数.（1）讨论函数fx的单调性；（2）若函数fx在x=1处取得极值，不等式fx鈮x-2对恒成立，求实数b的取值范围；（3）当xye-1时，证明不等式exln1+yeyln1+x.四、选做题（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。）22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数，） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求l和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A,B两点，且AB=8，求23设函数.（1）当a=-1时，求不等式fx0的解集；（2）若fx鈮?-1在上恒成立，求实数a的取值范围参考答案1C 2C 3D 4C 5D 6C 7B 8C 9C .10B 11C 12A11正方体的对角线长为23，故当正方体旋转的新位置的最大高度为23，又水的体积是正方体体积的一半，容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为3，故选C12函数f(x)满足f(3-x)=f(x)，可得f(32-x)=f(32+x).由(x-32)f(x)32时，f(x)3，x132.当x132,则f(x1)f(x2).当x132,x23-x1，f(3-x1)f(x2)，即f(x1)f(x2).故选A.13-1 1435 15192 16316因为在（3）中，对任意a,bR，a*b*c=c*ab+a*c+b*c5c 令c=0，代入得a*b*0=0*ab+a*0+b*0由（1）中a*b=b*a可得a*b*0=ab*0+a*0+b*0由（2）中a*0=a，化简可得a*b*0=ab+a+b所以fx=x*1x=1+x+1x因为x0 由基本不等式可得fx=1+x+1x3所以最小值为317（1）an=2n-2；（2）Sn=12-2n-1+n2n-1.解：1由an是递增等比数列，a1+a5=172，a2a4=4=a32=4a1+a1q4=172，(a1q2)2=4；解得：a1=12，q=2；数列an的通项公式：an=2n2；2由bn=nannN*，bn=n2n2；那么Sn=121+220+321+n2n2，则2Sn=120+221+322+n12n2+n2n1，将得：Sn=121201212n2+n2n1；即：Sn=21+20+2+22+2n2+n2n1=122n1+n2n118（1）y=2x+9，预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元（2）见解析解（1）由折线图可知统计数据x,y共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)，计算可得x=1+2+3+4+5+66=3.5，y=16i=16yi=1696=16，所以b=i=1nxixyiyi=1nxix2 =i=1nxiyinxyi=1nxix2= 37163.51617.5=2，a=ybx=1623.5=9，所以月度利润y与月份代码x之间的线性回归方程为y=2x+9.当x=11时，y=211+9=31.故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元。（2）由频率估计概率，每包A型新材料可使用1个月，2个月，3个月和4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，所以每包A型新材料可产生的利润期望值E1=5100.2+10100.35+ 15100.35+20100.1=1.75.由频率估计概率，每包B型新材料可使用1个月，2个月，3个月和4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2，所以每包B型新材料可产生的利润期望值E2=5120.1+10120.3+(15 12)0.4+20120.2=1.5.E1E2.所以应该采购A型新材料。19（1）见解析；（2）55（1）证明：由已知DC/EF，且DC平面ABFE，EF平面ABFE，所以DC/平面ABFE又平面ABCD平面ABFE=AB，故ABCD又ADC=DCB=120，所以四边形ABCD为等腰梯形因为AD=DE，所以AD=CD=BC，所以ADB=1200-300=900，所以ADBD因为ADDE,DCDE，且ADDC=D，所以DE平面ABCD.所以DEBD又ADDE=D，BD平面ADE，又AE平面ADE，所以AEBD（2）如图，以D为原点，以DA,DB,DE分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0),A(1,0,0),F12,32,1,B(0,3,0)FA=32,-32,-1,DB=0,3,0,DF=-12,32,1，设平面BDF的法向量为n=x,y,z，由nDB=3y=0nDF=12x+32y+z=0，得y=0x=2z，令z=1，得n=2,0,1 设直线与平面BDF所成的角为，sin=|cos|=|FAn|FA|n|=225=55，所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为5520（1）x24+y23=1（2）见解析（1）在x2a2+y2b2=1(ab0)中，令x=c，得c2a2+y2b2=1，解得y=b2a.由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆C相交所得的弦长）为3，得b2a-(-b2a)=3，所以2b2a=3.因为直线l：y=-3与椭圆C1相切，则b=|-3|=3.将代入，得a=2.故椭圆C的标准方程为x24+y23=1.（2）设点E(x1,y1)，D(x2,y2).由（1）知c=1，则直线l的方程为y=k(x+1).联立y=k(x+1),x24+y23=1,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0，则=(8k2)2-4(4k2+3)(4k2-12)=144k2+1440恒成立.所以x1+x2=-8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，y1y2=k2(x1+1)(x2+1) =k2(x1x2+x1+x2+1)= k2(4k2-124k2+3-8k24k2+3+1)=-9k24k2+3.因为(F2E-DE)F2E1，所以(F2E+ED)F2E1.即F2DF2E1.即(x2-1,y2)(x1-1,y1)= x1x2-(x1+x2)+1+y1y21，得4k2-124k2+3-8k24k2+3+1+-9k24k2+31，得7k2-94k2+31，即7k2-94k2+3，解得-2k0时函数在(0,1a)上单调递减，在(1a,+)上单调递增;（2）(,11e2;（3）详见解析（1）解f(x)=a1x=ax1x (x0)当a0时，ax10，从而f(x)0时，若0x1a，则ax10，从而f(x)1a，则ax10，从而f(x)0，函数在(0,1a)上单调递减，在(1a,+)上单调递增（2）解 根据（1）函数的极值点是x=1a，若1a=1，则a=1所以f(x)bx2，即x1lnxbx2，由于x0，即b1+1xlnxx令g(x)=1xlnxx，则g(x)=1x21lnxx=lnx2x2，可知x=e2为函数g(x)在(0,+)内唯一的极小值点，也是最小值点，故g(x)min=g(e2)=1e2，所以1+1xlnxx的最小值是11e2，故只要b11e2即可，故b的取值范围是(,11e2（3）证明不等式exln(1+y)eyln(1+x)ex+1lnx+1ey+1lny+1构造函数h(x)=exlnx，则h(x)=exlnx1xexln2x=ex(lnx1x)ln2x，可知函数在(e,+)上h(x)0，即函数h(x)在(e,+)上单调递增，由于xye1，所以x+1y+1e，所以ex+1lnx+1ey+1lny+1，所以exln(1+y)eyln(1+x)22（1）见解析；（2）=4或34（1）当=2时，l：x=1当2时，l：y=tanx1由1cos2=8cos得22sin2=8cos，因为x=cos，y=sin，所以C的直角坐标方程y2=4x （2）将直线l的参