工具变量与两阶段最小二乘法PPT课件

.,1,InstrumentalVariables&2SLS工具变量与两阶段最小二乘法,y=b0+b1x1+b2x2+.bkxk+ux1=p0+p1z+p2x2+.pkxk+v,.,2,ChapterOutline本章提要,OmittedVariablesinasimpleregressionmodel简单回归中的遗漏变量IVestimationoftheMultipleRegression多方程回归中的工具变量估计TwoStageLeastSquares两阶段最小二乘法IVsolutionstoerrors-in-variablesproblem用工具变量解决测量误差问题Testingforendogeneity检验内生性,.,3,LectureOutline本课提要,Motivation:WhyusingIV?出发点：为何用工具变量？StatisticalInferencewiththeIVestimatorIV估计中的统计推断PropertiesofIVwithapoorIV“坏”工具变量的性质ComputingRsquaresafterIV计算IV估计的R方IVestimationofthemultipleregressionmodel多方程回归的IV估计,.,4,Problemtostartwith从这个问题出发,Ifimportantvariablesareomitted,whatshouldwedo?如果一些重要的变量被遗漏，我们应当怎么办？,.,5,Thewaysout一些办法,Ignoretheproblem,pretendthatitdoesnotexist忽略这个问题，假装这个问题并不存在Findanduseasuitableproxy使用代理变量Usesanestimationmethodthatrecognizesthepresenceoftheomittedvariable使用一种对遗漏变量稳健的估计方法。,.,6,WhyUseInstrumentalVariables?为何使用工具变量？,InstrumentalVariables(IV)estimationisusedwhenyourmodelhasendogenousxs当模型解释变量具有内生性时，使用工具变量估计Thatis,whenCov(x,u)0即，Cov(x,u)0时,.,7,WhyUseInstrumentalVariables?为何使用工具变量？,Thus,IVcanbeusedtoaddresstheproblemofomittedvariablebias所以，IV可以用来解决遗漏变量偏差Additionally,IVcanbeusedtosolvetheclassicerrors-in-variablesproblem而且，IV可用来解决经典的测量误差问题,.,8,InstrumentalVariable:Whoqualifies?什么样的变量可以作为IV？,Inorderforavariable,z,toserveasavalidinstrumentforx,thefollowingmustbetrue针对内生变量x的一个有效的工具变量z应当满足如下条件Theinstrumentmustbeexogenous工具变量应为外生Thatis,Cov(z,u)=0(15.4)即Cov(z,u)=0,.,9,Theinstrumentmustbecorrelatedwiththeendogenousvariablex工具变量应与内生变量x相关Thatis,Cov(z,x)0(15.5),InstrumentalVariable:Whoqualifies?什么样的变量可以作为IV？,.,10,AboutCov(z,u)关于Cov(z,u),WehavetousecommonsenseandeconomictheorytodecideifitmakessensetoassumeCov(z,u)=0为了判断Cov(z,u)=0这一假定是否合理，我们不得不依赖于常识和经济理论。,.,11,AboutCov(z,x),WecantestifCov(z,x)0我们可以检验是否Cov(z,x)0JusttestingH0:p1=0inx=p0+p1z+v只需检验H0:p1=0inx=p0+p1z+vSometimeswerefertothisregressionasthefirst-stageregression.有时我们将这个回归称为第一阶段回归。,.,12,Example:wagedetermination例子：工资决定,Supposethetruemodelregresseslog(wage)oneducation(educ)andability(abil).假定真实模型将对数工资对教育和能力回归Nowabilityisunobserved,andtheproxy,IQ,isnotavailable.现在能力不可观测，而且没有代理变量IQTheactualregression:regresslog(wage)oneduc.事实上使用的回归：将对数工资对教育回归,.,13,Example:wagedetermination例子：工资决定,Problem:sincetheerrortermcontainsIQ,andeducationcorrelateswithIQ,endogeneityproblemappears.问题：由于误差项包含IQ，并且教育水平与能力相关，此时会出现教育的内生性问题。AgoodIVneedtobehighlycorrelatedwitheducation,butnotcorrelatedwiththeerrorterm.一个好的IV应当与教育水平高度相关，并且与误差项不相关。,.,14,Example:wagedetermination例子：工资决定,IsIQagoodinstrument?IQ是好的工具变量吗？No.Itcorrelateswithbotheducationandtheerrorterm.不。它同时与教育和误差项相关。,.,15,Example:wagedetermination例子：工资决定,IVusedintheliterature:在文献中使用的IVMotherseducation母亲教育水平Numberofsiblings.Hypothesis:moresiblingsisassociatedwithloweraveragelevelsofeducation.兄弟姐妹数目。假说：兄弟姐妹越多，平均受教育水平越低IfwewithtouseeitherofthemasIV,weneedtobeconfidentthattheyarenotcorrelatedwithability.无论我们使用其中的哪一个作为IV，我们都需要肯定它们是与能力不相关的。,.,16,WhenanIVisAvailable:Estimation当IV存在时：估计,Fory=b0+b1x+u,andgivenourassumptions(15.4)and(15.5),b1canbeidentified.对于y=b0+b1x+u，且给定假定(15.4)及（15.5），b1可以被识别Inthiscontext,identificationmeansthatwecanwriteb1intermsofpopulationmomentsthatcanbeestimatedinsamples.这里，识别是指我们可以将b1表示为总体矩的函数，并且这些矩可以通过样本估计。,.,17,WhenanIVisAvailable:Estimation当IV存在时：估计,SinceCov(z,y)=b1Cov(z,x)+Cov(z,u),sob1=Cov(z,y)/Cov(z,x)ThentheIVestimatorforb1is则b1的工具变量估计为,.,18,WhenanIVisAvailable:Estimation当IV存在时：估计,Whenz=xweobtaintheOLSestimatorofb1.当z=x时，我们得到b1的OLS估计Thismeanswhenxisexogenous,itcanbeusedasitsownIV,andtheIVestimatorisidenticaltoOLSinthiscase.这意味着当x是外生时，可以用它作自己的IV，这时的IV估计与OLS估计恒等。,.,19,WhenanIVisAvailable:Estimation当IV存在时：估计,Whenassumptions(15.4)and(15.5)hold,onecanshowthattheIVestimatorisconsistentforb1,afterapplyingthelawoflargenumbers.当假定(15.4)和(15.5)成立时，可以应用大数定律证明IV估计是b1的一致估计。,.,20,WhenanIVisAvailable:Inference当IV存在时：推断,Thehomoskedasticityassumptionis同方差假定：E(u2|z)=s2=Var(u)(15.11)Whenassumptions(15.4),(15.5),(15.11)hold,giventheasymptoticvariance,thestandarderrorforb1canbeestimated.当假定(15.4),(15.5),(15.11)成立时，给定渐近方差，可以估计b1的标准差,.,21,WhenanIVisAvailable:Inference当IV存在时：推断,.,22,WhenanIVisAvailable:Inference当IV存在时：推断,.,23,IVversusOLSestimationIV与OLS估计,StandarderrorinIVcasediffersfromOLSonlyintheRx,z2fromregressingxonzIV与OLS的标准差的不同之处仅在于将x对z回归得到的Rx,z2SinceRx,z21,IVstandarderrorsarelarger由于Rx,z21，IV的标准差会比较大。,.,24,IVversusOLSestimationIV与OLS估计,WhenCov(x,u)0,OLSisinconsistent.IVisconsistentwhenassumptions(15.4),(15.5)holds.当Cov(x,u)0，OLS不是一致估计，当(15.4),(15.5)成立时，IV是一致估计。Thestrongerthecorrelationbetweenzandx,thesmallertheIVstandarderrorsx和z的相关性越强，IV的标准差越小。,.,25,TheEffectofPoorInstruments不好的工具变量导致的问题,WhatifourassumptionthatCov(z,u)=0isfalse?如果Cov(z,u)=0不成立会怎样？TheIVestimatorwillbeinconsistent,tooIV估计将不再为一致估计CancompareasymptoticbiasinOLSandIV可以对比OLS和IV的渐近偏差,.,26,TheEffectofPoorInstruments不好的工具变量导致的问题,PreferIVifCorr(z,u)/Corr(z,x)Corr(x,u),.,27,ReportingR-SquaredafterIVEstimation在IV估计后报告R方,Sincethevarianceofycannotbedecomposednicelywhenxanduarecorrelated,theR-squaredisnotverymeaningfulaftertheIVestimation.由于当x与u相关时我们不能对y进行简单的分解，在IV估计之后的R方没有太多意义。ItcannotbeusedintheusualwaytocomputeFtestsofjointrestrictions.也不能用它来计算检验线性约束的F统计量。,.,28,IVEstimationintheMultipleRegressionCase多元回归的工具变量估计,IVestimationcanbeextendedtothemultipleregressioncaseIV估计可以扩展到多元回归情形Callthemodelweareinterestedinestimatingthestructuralmodel我们将感兴趣的模型称为结构方程。Ourproblemisthatoneormoreofthevariablesareendogenous问题在于一个或多个变量是内生的。Weneedaninstrumentforeachendogenousvariable对每个内生变量都我们都需要一个工具变量。,.,29,TheStructuralEquation结构方程,.,30,TheStructuralEquation:Example结构方程：例子,.,31,TheReduced-FormEquation方程的简约式,Thereduced-formequationexpressesoneoftheendogenousvariablesasafunctionofallexogenousvariablesandstochasticdisturbances.简约式的方程将内生变量表示为所有外生变量和随机扰动的函数。Thecorrespondingparametersarereduced-formparameters.对应的参数称为简约式的参数。,.,32,TheReduced-FormEquation:Example简约式的方程：例子,.,33,MultipleRegressionIV多元回归的IV,Now,wewritethestructuralmodelasy1=b0+b1y2+b2x1+u1,wherey2isendogenousandx1isexogenous现在，将结构模型写为y1=b0+b1y2+b2x1+u1，其中y2为内生，为x1外生Letz1betheinstrumentfory2,weneedthefollowingassumptionstogetavalidIVestimates.令z1为y2的工具变量，为了得到一个有效的IV，我们需要做如下假设,.,34,AssumptionsforMultipleRegressionIV多个回归中关于IV的假定,E(u1)=0Cov(x1,u1)=0andCov(z1,u1)=0Therefore,E(z1u1)=E(x1u1)=0.Wenowhave3momentconditionsfor3unknowns.现在我们有三个未知量，三个矩条件,.,35,ObtainingtheIVestimators得到IV估计量,.,36,TheReducedformfory2y2的简约式,Westillneedz2tobecorrelatedwithy2我们仍然需要z2与y2相关y2=p0+p1x1+p2z1+v2,wherep20Thisreducedformequationregressestheendogenousvariableonallexogenousones.这个简约式方程将内生变量对所有的外生变量回归。Theaboveprocedurecanbeextendedtomoreexplanatoryvariablescase.上述过程可以扩展为更多个解释变量的情形。,.,37,Example:ReturntoEducation例子：教育回报,Card(1995)usewageandeducationdataforasampleofmenin1976toestimatethereturntoeducation.Card(1995)使用1976年关于men的工资和教育数据估计教育回报Instrumentalvariable:whetheronegrewupnearafour-yearcollege(nearc4).工具变量：是否在本科大学附近长大。,.,38,Example:ReturntoEducation例子：教育回报,Fordistancetobeavalidinstrument如果距离是一个有效的IV，应有(1)Itmustbeuncorrelatedwiththeerrortermthatdetermineswage.（1）它必须和影响工资的误差项不相关,.,39,Example:ReturntoEducation例子：教育回报,Fordistancetobeavalidinstrument如果距离是一个有效的IV，应有(2)Itmustbepartiallycorrelatedwitheduc.(2)它必须部分地与教育变量相关Thiscanbecheckedbyregresseduconnearc4andalloftheexogenousvariablesappearingintheequation.可以通过将教育对距离和其他外生变量回归来查看这一点。,.,40,Example:ReturntoEducation例子：教育回报,Thismeansweestimatethereducedformforeduc.这意味着我们估计了教育的简约式的方程Thisestimationgivesacoefficientof0.32withastandarderrorof0.088.估计的结果：系数为0.32,标准差为0.088Impliesthatin1976,otherthingsbeingfixed,onaverage,peoplewholivednearacollegehadaboutone-thirdofayearmoreeducationthanthosewhodidnt.意味着在1976年，控制住其它因素后，平均来讲，居住在大学附近的人比其他人多受约4个月的教育,.,41,Example:ReturntoEducation例子：教育回报,.,42,Example:ReturntoEducation例子：教育回报,TheIVestimatesofthereturntoeducationisalmosttwiceaslargeastheOLSestimate.对教育回报的IV估计几乎是OLS估计的两倍Thestandarderrorisover18timeslarger.标准差比OLS估计大18倍,.,43,Example:ReturntoEducation例子：教育回报,Largeconfidenceintervalsisapricewemustpaytogetaconsistentestimatorofthereturntoeducationwhenwethinkeducisendogenous.如果我们认为教育是内生的，而且想要得到一致的估计，过宽的置信区间将是我们所要付出的代价。BecauseOLSminimizesthesumofsquaredresiduals,itisnotsurprisingtoobserveasmallerRsquarefortheIVestimation.由于OLS最小化残差的平方和，所以观察到IV的R方较小并不奇怪。,.,44,TwoStageLeastSquares(2SLS)量阶段最小二乘法,Itspossibletohavemultipleinstruments有多个IV也是可能的Considerouroriginalstructuralmodel,andlet考虑我们原来的结构模型，令y2=p0+p1z1+p2z2+p3z3+v