春学期江苏阜宁中学高二数学期末复习测

2008春学期江苏省阜宁中学高二数学期末复习测试卷命题人：曹志华一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. （1）复数的实部是 （2）设随机变量服从正态分布,若,则= （3）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3按照以上排列的规律，第n行（） 4 5 6从左向右的第3个数为 7 8 9 10 （4）已知，则的最小值 （5）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前 排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 （6）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 （7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 (8) 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件 充要条件 (9) 若随机变量X服从0-1分布则方差V(x）的最大值为 (10)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 （11）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是 （12）设函数f(x)=ax2+c(a0).若，0x01,则x0的值为 （13）已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量（），（cosA,sinA）.若，且acosB+bcosA=csinC，则角B （14）若不等式3x-b4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共12+15+15+15+15+18=90分.(15)设的内角所对的边长分别为，且（）求的值；（）求的最大值（16）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的 （）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 的分布列及期望。（17）将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和，且满足1=（n2）.()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k3)行所有项和的和. (18) 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD ;（）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角正切 值为，求二面角EAFC的余弦值.（19）已知函数其中nN*,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x2时，有f(x)x-1.(20) 如图，设抛物线方程为x2=2py(p0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（）已知当M点的坐标为（2，-2p）时， 求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D 在 抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.2008春学期江苏省阜宁中学高二数学期末复习测试卷解答命题人：曹志华一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. （1）复数的实部是（2）设随机变量服从正态分布,若,则= （3）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3按照以上排列的规律，第n行（） 4 5 6从左向右的第3个数为 7 8 9 10 （4）已知，则的最小值 （5）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（6）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为(8)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件充要条件（9）若随机变量X服从0-1分布则方差V(x）的最大值为0.25 (10)设椭圆C1的离心率为5/13，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为x2/16-y2/9=1（11）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是2,9 （12）设函数f(x)=ax2+c(a0).若，0x01,则x0的值为.（13）已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量（），（cosA,sinA）.若，且acosB+bcosA=csinC，则角B.（14）若不等式3x-b4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为（5，7）.二、解答题：本大题共6小题，共90分.（15）（本小题满分12分）设的内角所对的边长分别为，且（）求的值；（）求的最大值解析：（）在中，由正弦定理及可得即，则；（）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.（16）（本小题满分15分） 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 的分布列及期望。【解】：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（） （） （），故的分布列 所以（17）（本小题满分15分）将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和，且满足（n2）.()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k3)行所有项和的和.()证明：由已知 .（）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q0. 因为所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故 a81在表中第13行第三列，因此又所以 q=2. 记表中第k(k3)行所有项的和为S，则（k3）.(18)(本小题满分15分)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切 值为，求二面角EAFC的余弦值.证明：（）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得 ABC为正三角形.因为 E为BC的中点，所以AEBC. 又 BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以 AE平面PAD，又PD平面PAD.所以 AEPD.解：（）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH， EH.由（）知 AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 当AH最短时，EHA最大，即 当AHPD时，EHA最大.此时 tanEHA=因此 AH=.又AD=2，所以ADH=45，所以 PA=2.解法一：因为 PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC平面ABCD. 过E作EOAC于O，则EO平面PAC， 过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AEsin30=，AO=AEcos30=, 又F是PC的中点，在RtASO中，SO=AOsin45=, 又 在RtESO中，cosESO= 即所求二面角的余弦值为解法二：由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0）， ，所以 设平面AEF的一法向量为则因此 取因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cos, =因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为（19）（本小题满分15分）已知函数其中nN*,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x2时，有f(x)x-1.（）解：由已知得函数f(x)的定义域为x|x1， 当n=2时， 所以 （1）当a0时，由f(x)=0得1，1，此时（x）=.当x（1，x1）时，f（x）0, f(x)单调递减；当x（x1+）时，f（x）0, f(x)单调递增.（2）当a0时，f（x）0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a0时，f(x)无极值.（）证法一：因为a=1,所以 当n为偶数时，令则 g（x）=1+0（x2）.所以当x时，g(x)单调递增，又 g(2)=0因此g(2)=0恒成立， 所以f(x)x-1成立.当n为奇数时， 要证x-1,由于0，所以只需证ln(x-1) x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h（x）=1-0（x2）, 所以 当x时，单调递增，又h(2)=10， 所以当x2时，恒有h(x) 0,即ln（x-1）x-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，当x2，时，对任意的正整数n，恒有1，故只需证明1+ln(x-1) x-1.令则当x2时，0，故h(x)在上单调递增，因此当x2时，h(x)h(2)=0，即1+ln(x-1) x-1成立.故当x2时，有x-1.即f（x）x-1. (20)(本小题满分18分)如图，设抛物线方程为x2=2py(p0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（）已知当M点的坐标为（2，-2p）时， 求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在 抛物线 上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.（）证明：由题意设由得，则所以因此直线MA的方程为直线MB的方程为所以由、得因此，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（）解：由（）知，当x0=2时， 将其代入、并整理得：所以x1、x2是方程的两根，因此又所以由弦长公式得又，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为或（）解：设D(x3,y3)，由题意得