湖南“三七校”毕业班数学理工类第二次联考

湖南省“三市七校”2007届毕业班数学理工类第二次联考试卷考试时量:120分钟,试卷满分:150分.如果事件A、B互斥，那么P(A + B) = P(A) + P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A B) + P(A) P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 球的表面积公式其中R表示球的半径球的体积公式其中R表示球的半径参考公式：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U = 1，2，3，4，5，6，7，A = 3，4，5，B = 1，3，6，则A()等于 （ ）A4，5B2，4，5，7C1，6D32. 若、是两条不重合直线，、是两个不重合的平面，则的一个充分而不必要条件是（ ）（A），且b （B），且ab（C），且 （D），且ab3. 在等差数列中，若，则的最小值为（ ）（A）60（B）62（C）70（D）724. 已知，且满足，则下列不等式恒成立的是（ ）（A）（B）（C）（D）5.以直线y= -x+1与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )A x2=4y或y2=4x B x2=2y或y2=2xC x2=-4y或y2=-4x D x2=2y或y2=-2x6定义：| a b | = | a | | b | sin，其中为向量a与b的夹角，若| a | = 2，| b | = 5，a b = 6，则| a b | =（ ）A-8B 8C8或 8D6ABCDy=f(x)y=g(x)7已知与的图象如图所示，则函数的图象可以是8.在某城市中，A、B两地有如右图所示道路网，从A地到B地最近的走法有（ ）种A 25 B C D 9一个三棱锥SABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1，3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ） （A） 16 （B） 32 （C） 36 （D） 6410定义在R上的函数f(x)，给出下列四个命题: 若f(x)是偶函数,则f(x+3)的图象关于直线x=-3对称； 若f(x+3)=-f(3-x),则f(x)的图象关于点(3,0)对称； 若f(x+3)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=3对称; y=f(x+3)与y=f(3-x)的图象关于直线x=3对称.其中正确命题的个数有（ ）A 0 B 1 C 2 D 3试题卷第 卷 (非选择题，共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上。11设i是虚数单位，则的虚部为。12. 已知变量、满足则的最大值为_。13若的展开式的第7项为，则14. 已知服从正态分布N(5，4)，那么P()=_.15. 对于一切实数x，令x为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数，如 f(2.1)=2；若为数列的前n项和，则=_.三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16(本大题满分12分)已知锐角ABC中，三个内角为A、B、C，两向量，若与是共线向量，（1）A的大小；（2）求函数取最大值时，B的大小17. (本大题满分13分)有A，B，C，D四个城市，它们都有一个著名的旅游点依此记为a，b，c，d把A,B,和a,b,c,d分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连接一个城市与该城市的旅游点正确的得2分，连错的得0分； （1）求该爱好者至少得2分的概率； （2）求所得分的数学期望？18(本大题满分13分) 在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（1）证明：ACSB；（2）求二面角NCMB的大小；（3）求点B到平面CMN的距离.19(本大题满分14分)通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律(越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知：(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过 适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？20(本大题满分14分)已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，P是椭圆上任意一点，设该双曲线：以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线在第一象限内的任意一点，且。（1）设的最大值为，求椭圆离心率；（2）若椭圆离心率时，证明：总有成立。21(本大题满分14分)已知函数 (a为实常数)(1) 当a = 0时，求的最小值；(2)若在上是单调函数，求a的取值范围； (3)设各项为正的无穷数列满足 证明：1(nN*)参考答案http:/www.DearEDU.com一.1、A,2、C,3、B,4、D,5、C,6、B,7、A,8、C,9、A,10、D二.11、-3；.12、1；13、14、15、三.16.解：(2)整理得：(4)又A为锐角，(6)（2）由（1）知(7)故(12)当B=600时，Y取得最大值。(13) 17. 设答对题的个数为y，得分为，y=0，1，2，4 ，=0，2，4，8(1)， ，0248P， 9分则的分布列为10分 （2）E=12分答：该人得分的期望为2分13分18. 解：（1）取AC中点D，连结SD、DB.SA=SC，AB=BC，ACSD且ACBD，AC平面SDB，又SB平面SDB，ACSB-4分（2）AC平面SDB，AC平面ABC，平面SDB平面ABC.过N作NEBD于E，NE平面ABC，过E作EFCM于F，连结NF，则NFCM.NFE为二面角NCMB的平面角-6分平面SAC平面ABC，SDAC，SD平面ABC. 又NE平面ABC，NESD.SN=NB，NE=SD=， 且ED=EB.在正ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在RtNEF中，tanNFE=2，二面角NCMB的大小是arctan2-8分（3）在RtNEF中，NF=，SCMN=CMNF=，SCMB=BMCM=2-11分设点B到平面CMN的距离为h，VB-CMN=VN-CMB，NE平面CMB，SCMNh=SCMBNE，h=.即点B到平面CMN的距离为-13分19. (1)解：当0t10时，是增函数，且3分当20t40时，是减函数，且6分所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟7分(2)解：，所以，讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中9分(3)当0t10时，令得：10分当20t40时，令得：12分则学生注意力在180以上所持续的时间所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题14分20解：（1）设又又得当时最大值为。故(6)（2）由椭圆离心率得双曲线设则(7) 当ABx轴时,.(9)当时.(12)又与同在或内(13)=总=有成立。(14).21. (1)当a0时，在2，)上恒大于零，即，符