福建泉州泉港区第一中学高三数学期中理

福建省泉州市泉港区第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2.复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）A. B. 1 C. D. 3在ABC中,“ABAC0”是“ABC为锐角三角形”的( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件4.设数列an是单调递增的等差数列，a1=2且a1-1，a3，a5+5成等比数列，则a2019=（ ）A.1009B. 1011 C. 2018D. 20195.下列数值最接近的是（ ）A. B. C. D6下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）ABCD7.我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所税金之和，恰好重1斤。”则在此问题中，第5关收税金为( )A 斤 B 斤 C 斤 D 斤8设正实数a,b满足6a=2b,则（ ）A 0ba1 B 1ba2 C 2ba3 D 3ba49已知部分图象如图，则的一个对称中心是( ) ABCD10.一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是( ) ABCD11. 已知等边的边长为2，现把绕着边旋转到的位置给出以下三个命题： 对于任意点，PABC； 存在点，使得PA平面PBC； 三棱锥的体积的最大值为1. 以上命题正确的是（ ）A B C D12已知函数若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.-221+sinxdx= 14已知数列满足：，则使成立的的最大值为_ 15设D为的边的中点，P为内一点，且满足，则_ .16.已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17(本小题满分12分)已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和18.(本小题满分12分)如图，在ABC中，点P在边BC上，PAC=60，PC=2，AP+AC=4（）求ACP；（）若APB的面积是332，求sinBAP19(本小题满分12分)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值（值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，.测得部分数据如表所示.02610488（1）求关于的函数关系式；（2）求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳.20. (本小题满分12分)如图，以为顶点的五面体中，,平面, ，是的中点.（1） 求证：平面；（2） 求二面角的余弦值.21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = x + m - 2 ln x ， m R x（1） 求函数 f (x) 的单调增区间；（2） 若函数 f (x) 有两个极值点 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ，证明： f (x2 ) 4;()若不等式fab+1对任意的实数a恒成立，求b的取值范围.泉港一中2020届高三上期中考试理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案CABBDDCCDABB二、填空题13 、 4 14 、 4 15、 16、 三、解答题17.解：（1）当时，当时，也适合时，.5分（2），12分18.()在APC中，因为PAC=60，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2-2APACcosPAC，2分所以22=AP2+(4-AP)2-2AP(4-AP)cos60，整理得AP2-4AP+4=0，解得AP=2所以AC=2所以APC是等边三角形所以ACP=60 6分()法1：由于APB是APC的外角，所以APB=120因为APB的面积是332，所以12APPBsinAPB=332所以PB=3在APB中，AB2=AP2+PB2-2APPBcosAPB=22+32-223cos120=19所以AB=19在APB中，由正弦定理得ABsinAPB=PBsinBAP，所以sinBAP=3sin12019=3573819.（1）当时，是的二次函数，可设.依题意有，解得：，即.当时，由，可得，即.综上可得7分（2）当时，即当时，取得最大值12；当时，单调递减，可得，即当时，取得最大值3.综上可得，该新合金材料的含量为4时产品的性能达到最佳.5分20.解：（1）因为平面，平面，所以.因为，是的中点，所以.1分又，所以，从而.2分因为平面，且，所以四边形为直角梯形.又是的中点，所以与均为等腰直角三角形，所以.3分设，则，所以.4分又，平面，所以平面.5分（2）由（1）知.设的中点为，连接，则，从而.以为原点，分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.由题意得，6分则7分设平面的法向量为，由得8分令，得，所以为平面的一个法向量.9分因为平面，所以为平面的一个法向量.10分因为，11分且由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为12分21解：（）由，得：， 1分设函数，当时，即时，所以函数在上单调递增 2分当时，即时，令得， 3分当时，即时，在上，；在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减4分当时，即时，在上，在上，所以函数在上单调递减，在上单调递增 5分综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为 6分（2）证明：函数有两个极值点，且，有两个不同的正实根，即欲证明，即证明 8分，所以等价于证明成立.， 9分设函数，求导可得 易得在上恒成立，即在上单调递增，即在上恒成立 11分函数有两个极值点，且， 12分221圆C的极坐标方程为2+12cos+11=0x=cos，y=sin，2=x2+y2，圆C的直角坐标方程为x2+y2+12x+11=0，化为圆的标准方程为(x+6)2+y2=25. 5分2设直线l的参数方程为y=tsinx=1+tcos(t为参数)将l代入圆C的直角坐标方程(x+6)2+y2=25中，化简得t2+14tcos+24=0，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理知t1+t2=-14cos，t1t2=2