福建厦门第一中学高三数学二检模拟考试理

福建省厦门第一中学2019届高三（下）市二检模拟考试理科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别解出集合A和B，再结合交集的概念和补集的概念得到结果.【详解】，故答案为：A.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，属于基础题.2.已知为虚数单位，若，则（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算得到，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果.【详解】为虚数单位，若，根据复数相等得到.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数与相等的充要条件是且复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解3. 下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若，则”的逆命题是真命题B. 命题“存在”的否定是：“任意”C. 命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D. 已知，则“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】试题分析：A原命题的逆命题是“若ab，则am2bm2”是假命题，由于m=0时不成立；B利用“全称命题”的否定是“特称命题”即可判断出正误；C由“p或q”为真命题，可知：命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，即可判断出正误；DxR，则“x1”是“x2”的必要不充分条件，即可判断出正误解：A命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是“若ab，则am2bm2”是假命题，m=0时不成立；B命题“存在xR，x2x0”的否定是：“任意xR，x2x0”，正确；C“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；DxR，则“x1”是“x2”的必要不充分条件，因此不正确故选：B考点：命题的真假判断与应用4.设函数则值为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 12【答案】D【解析】【分析】根据分段函数表达式中x的范围，代入相应的表达式，得到相应的函数值.【详解】函数,因为，故得到故答案为：D.【点睛】解决分段函数求值问题的策略(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。(3)求f(f(f(a)的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。5.圆的一条切线与圆相交于，两点，为坐标原点，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量的点积的坐标运算得到，再由向量点积的定义式得到，根据直线和圆的位置关系以及半径的大小，得到结果即可.【详解】切线与圆切于点E，由题干知圆心均为O点，则根据向量点积坐标公式得到： ， 故得到：故答案为：B.【点睛】这个题目考查了向量的点积运算，包括向量点积的坐标运算，属于基础题.6.已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出相应的点坐标，根据题意得到，联立直线和抛物线得到根的和与乘积，代入上式进行化简求出n值，进而得到点P坐标，再由点到直线的距离公式得到结果.【详解】设 根据题意得到，设直线方程为联立直线和抛物线方程得到： 化简得到根据韦达定理，将根的和与乘积代入化简得到.此时直线为，点P坐标为 根据点到直线的距离公式得到： 故答案为：B.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用7.我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作（数书九章）中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输入的，则程序框图计算的结果为（ ）A. 15B. 31C. 63D. 127【答案】C【解析】分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足判断条件，终止循环，即可输出结果，得到答案【详解】由题意，模拟执行程序框图，可得：满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，不满足条件，终止循环，输出的值，故选C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，依次写出每次循环得到的的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是（）A. m1m2，s1s2B. m1m2，s1s2C. m1m2，s1s2D. m1m2，s1s2【答案】C【解析】【分析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果【详解】由频率分布直方图得：甲地区40，60）的频率为：（0.015+0.020）100.35，60，70）的频率为0.025100.25，甲地区用户满意度评分的中位数m16066，甲地区的平均数s1450.01510+550.02010+650.02510+750.02010+850.01010+950.0101067乙地区50，70）的频率为：（0.005+0.020）100.25，70，80）的频率为：0.035100.35，乙地区用户满意度评分的中位数m2701077.1，乙地区的平均数s2550.00510+650.02010+750.03510+850.02510+950.0151077.5m1m2，s1s2故答案为：C.【点睛】本题考查平均数、中位数的求法与比较，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.9.已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE底面BCDE.如图所示，矩形ABCD中心为M,球心为O,F为BE中点，OGAF.设OM=x,由题得在直角OME中，又MF=OG=1,AF=,，解（1）（2）得故选B.点睛：本题的难点在于作图找到关于R的方程，本题条件复杂，要通过两个三角形得到关于R的两个方程、（2），再解方程得到R的值.10.已知双曲线的右焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先可以根据题意写出直线的方程，然后令并联立直线与双曲线方程，得出两点的纵坐标之和以及纵坐标之积，再然后通过即可列出方程并解得的值，最后根据离心率计算公式即可得出结果。【详解】由题意得直线的方程为，不妨取，则，且.将代入，得.设，则，.由，得，所以，得，解得，所以，故该双曲线的离心率为，故选A。【点睛】本题考查双曲线的相关性质，主要考查双曲线的渐近线与离心率的相关性质，考查双曲线与直线的相关性质，考查方程思想，考查运算求解能力，是中档题。11.如图，四边形内接于圆，若，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】做出辅助线，根据题意得到；在三角形DCB中，应用余弦定理以及重要不等式得到再由正弦定理中的三角形面积公式得到结果.【详解】做于点E， 在直角三角形中，可得到根据该四边形对角互补得到在三角形ABD中，应用余弦定理得到 在三角形DCB中，应用余弦定理以及重要不等式得到 进而得到 故答案为：C.【点睛】这个题目考查了余弦定理解三角形，以及四边形有外接圆则对角互补的性质的应用；在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12.已知函数有两个零点，则下列判断：；有极小值点，且.则正确判断的个数是（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】D【解析】【分析】对函数求导得到函数的极值点进而得到ae，不正确，先由函数单调性得到正确，再推断的正误.【详解】对函数求导：当a0时，f（x）exa0在xR上恒成立，f（x）在R上单调递增当a0时，f（x）exa0，exa0，解得xlna，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增函数f（x）exax有两个零点x1x2，f（lna）0，ae，elnaalna0，ae，不正确； 函数的极小值点为要证，只要证 因为函数f（x）在（，）单调递减，故只需要证 构造函数 求导得到 所以函数单调递增，恒成立， 即，故得到进而得证：，.故正确.又因为 根据，可得到.不正确.因为故不确定.综上正确的只有一个.故答案为：D.【点睛】本题考查的是导数在研究函数的极值点中的应用，导数在研究函数的单调性中的应用，题目比较综合.其中涉及到极值偏移的方法的应用.二、填空题。13.设，满足约束条件，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，可知需确定在轴截距的最大值，通过平移可得结果，从而确定所求最小值.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将化为：可知的最小值即为在轴截距最大时的取值由图像平移可知，当过点时，截距最大由得本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的求解的最值类的问题，重点是通过平移确定取得最值的点.14.若，当时，实数的值为_【答案】0或2.【解析】【分析】将原式变形为，通项为，对应的系数，故得到从而得到结果.【详解】因为，将原式变形为，通项为 对应的系数，故得到 系数为 故答案为：0或2.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15.在中，角，的对边分别为，且，若当，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由正弦定理解三角形，将边长转化为角即，代入进行化简，求出函数取得最大值时的结果【详解】由正弦定理可得：,且满足存在最大值，令则，当存在最大值时，即解得综上可得故正数的取值范围是【点睛】本题在求含有边长的取最值时，利用正弦定理将其转化为角的问题，这样运用辅助角公式来求解，限制角的范围，求出结果，在解答此类题目时一般将边化为角来求解。16.已知，数列满足：对任意，且，则使得成立的最小正整数为 _.【答案】298【解析】【分析】先求出确定是以3为首项，1为公差的等差数列，求出从而 最后解不等式得出的最小值。【详解】，由知： ，又，.是以3为首项，1为公差的等差数列，又，从而， ，令得，又，故的最小值为298.【点睛】本题考察了三角函数的求导，等差数列的定义，同角三角关系式，以及根式不等式的求解。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出，利用成等差数列求出参数，从而可得数列的通项公式；（2）把变形为，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前项和详解：（1）（法一）由，令，得到是等差数列，则，即解得：由于，（法二）是等差数列，公差为，设对于均成立则，解得，（2）由点睛：设数列是等差数列，是等比数列，则数列，的前项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法18.如图，在平行六面体中，底面，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，,通过勾股定理得到，再由条件推得进而得到线面垂直，线线垂直；（2）建立坐标系，分别求得两个面的法向量，进而求得夹角的余弦值.【详解】(1)连接，以为原几何体是平行六面体，故得到是平行四边形，进而得到，因为且，在三角形ABC中由余弦定理得到边，进而得到，又因为底面， 面.(2)根据题干，以及第一问可建立如图坐标系：设， 根据，设面的法向量为 设面的法向量为 ， 则两个半平面的夹角余弦值为：【点睛】这个题目考查了空间中直线和面的位置关系的应用，涉及线面垂直的性质的应用，以及线线垂直的证明，和二面角的求法，一般求二面角，可以利用几何方法，做出二面角，或者建立空间坐标系得到法向量进而求得二面角的大小.19.某保险公司针对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把企业的所有岗位共分为、三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、6000、2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：工种类别ABC赔付频率已知、三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年10万元.（1）求保险公司在该业务所获利润的期望值；（2）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.【答案】()详见解析；() 方案2【解析】试题分析：（）设工种职工的每份保单保险公司的收益为随机变量，可得其分布列，分别求解数学期望，即可得到该工资的期望值；（）分别求出方案1和方案2中企业每年安全支出与固定开支，即可作出比较得到结论试题解析：（）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为X25PY25PZ40P保险公司的期望收益为； 保险公司的利润的期望值为，保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元（）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：，方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：，故建议企业选择方案220.已知椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于，两点，与交于点，四边形和的面积分别为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件得椭圆四个顶点组成的四边形为菱形，其面积为，又在椭圆上，所以，解方程组得，（2）先确定面积计算方法：，再确定计算方向：设，根据两点间距离公式求，根据两直线交点求点横坐标，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理求弦长，最后根据表达式形式，确定求最值方法（基本不等式求最值）试题解析：（1）因为在椭圆上，所以，又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，解得，所以椭圆的方程为（2） 由（1）可知，设，则当时，所以，直线的方程为，即，由得，则，又，所以，由，得，所以，所以，当，直线，所以当时，.点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.21.已知.（1）若是上的增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.【答案】(1) (2) 三个零点【解析】【分析】(1) 由题意知恒成立,构造函数，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证，.详解】（1）由得，由题意知恒成立，即，设，时，递减，时，递增；故，即，故的取值范围是.（2）当时，单调，无极值；当时，一方面，且在递减，所以在区间有一个零点.另一方面，设 ，则，从而在递增，则，即，又在递增，所以在区间有一个零点.因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为， ，当时，即；当时，即；当时，即：从而在递增，在递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.下面证明：，由得，即，由得 ，令，则，当时，递减，则，而，故；当时，递减，则，而，故；一方面，因为，又，且在递增，所以在上有一个零点，即在上有一个零点.另一方面，根据得，则有： ，又，且在递增，故在上有一个零点，故在上有一个零点.又，故有三个零点.【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用