福建长泰一中数学一轮复习《直线和平面垂直》学案

基础过关第4课时 直线和平面垂直4点到平面距离过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离5直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离典型例题例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为ABC的垂心求证：OG平面ABCBACOG证明：OA、OB、OC两两互相垂直OA平面OBC OABC又G为ABC的垂心 AGBC, BC面OAGBCOG同理可证：ACOG 又BCACCOG平面ABCPMBCDAN(1) 求证：MNCD；(2) 若PDA45，求证：MN面PCD证明：(1) 连AC取中点O，连NO、MO，并且MO交CD于RN为PC中点 NO为PAC的中位线 NOPA而PA平面ABCD NO平面ABCDMN在平面ABCD的射影为MO，又ABCD是矩形M为AB中点，O为AC中点 MOCDCDMN(2) 连NR，则NRM45PDA又O为MR的中点，且NOMRMNR为等腰三角形 且NRMNMR45MNR90 MNNR 又MNCDMN平面PCD变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PBAC，PAAB 求证： ABCD是正方形； PCBC证明：略PDABCFE例3如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ADPD，E、F分别为CD、PB的中点(1) 求证：EF平面PAB；(2) 设ABBC，求AC与平面AEF所成的角的大小(1) 证明：连结EPPD底面ABCD，DE在平面ABCD中，PDDE，又CEED，PDADBC，RtBCERtPDE，PEBEF为PB中点，EFPB由垂线定理得PAAB，在RtPAB中，PFAF，又PEBEEA，EFPEFA，EFFA PB、FA为平面PAB内的相交直线，EF平面PAB(2) 解：不防设BC1，则ADPD1，AB，PA，ACPAB为等腰直角三角形且PB2，是其斜边中点，BF1，且AFPBPB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直PB平面AEF连结BE交AC于G，作GHBP交EF于H，则GH平面AEFGAH为AC与平面AEF所成的角由EGCBGA可知EGGB，EGEB，AGAC由EGHBGF可知GHBFsinGAHAC与面AEF所成的角为arc sin变式训练3：如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，BADBDC90，ABAD3，BC2CD求：(1) 求AC的长；(2) 求证：平面ABC平面ACD；(3) 求D点到平面ABC的距离dABDC解：(1) (2)略(3)因VADBC(DCBD)OA6，又VDABC(ABAC)dd，VABCDVDABC，则d6，解得d.例4：如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC14CPA1C1D1ABCDPHOB1(1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；(2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；(3) 求点P到平面ABD1的距离答案： (1) APBarctan(2) AP在面AC上的射影为AC 又ACBDPABD 而BDB1D1 B1D1AP而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H D1HAP(3) 面ABD1面BC1 过P作PMBC1于M则PM变式训练4：三棱锥VABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H(1) 求证H是ABC的垂心；(2) VEHACBD(1) 证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点，VAVB，VAVC，VBVCV，VAVBC面，又BCVBC面，BCVAVHABC面，BCABC面，BCVH，又VAVHA，BCVHA面又ADVHA面，ADBC，同理可得CEAB，H是ABC的垂心(2) 连接VE，在RtVEC中，VE2EHECAB2VE2AB