上海浦东新区高三数学上学期期末教学质量检测

上海市浦东新区2018届高三数学上学期期末教学质量检测试题注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 集合,，则_.2. 不等式的解集为_.3. 已知函数的反函数是，则_. 4. 已知向量，则向量在向量的方向上的投影为_.5. 已知是虚数单位，复数满足，则_.6. 在的二项展开式中，的系数是_.7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为_. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是_.9. 已知等比数列 前项和为，则使得的的最小值为_.10. 圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为_.11. 已知函数，将的图像向左平移个单位得到函数的图像，令.如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_.12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，是双曲线上的两个动点，动点满足：，直线与直线斜率之积为.已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为_.二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.13. 若实数，则命题甲“”是命题乙“”的（ ）条件A充分非必要 B必要非充分 C充要 D既非充分又非必要14.已知中，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（ ）ABCD15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是( )小时 A B C D 16. 关于的方程恰有3个实数根，则（ ）ABCD三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤17. （本题满14分，第1小题7分，第2小题7分）如图，在长方体中，. （1）求异面直线与所成的角;（2）求三棱锥的体积. 18. （本题满14分，第1小题7分，第2小题7分）在中，角所对的边分别为，已知：，且.（1）求；（2）若，且，求的值.19. （本题满14分，第1小题6分，第2小题8分）已知等差数列的公差为2，其前项和.（1）求的值及的通项公式;（2）在等比数列中，令，求数列前项和.20. （本题满16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆的左、右焦点分别为；设点，在中，周长为.（1）求椭圆方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点.若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.21. （本题满18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数的定义域为，值域为，即.若，则称在D上封闭.（1）试分别判断函数、在上是否封闭，并说明理由；（2）函数的定义域为，且存在反函数.若函数在D上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；（3）已知函数的定义域是，对任意，若，有恒成立，则称在D上是单射.已知函数在D上封闭且单射，并且满足，其中.证明：存在D的真子集，使得在所有上封闭.参考答案注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.集合,，则_.【答案】2.不等式的解集为_.【答案】3.已知函数的反函数是，则_.【答案】 4.已知向量，则向量在向量上的投影为_.【答案】5. 已知是虚数单位，复数满足，则_.【答案】6. 在的二项展开式中，的系数是_.【答案】7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中抽取4个，其中恰好有1个二等品的概率为_.【答案】 8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是_.【答案】9.已知等比数列 前项和为，则使得的的最小值为_.【答案】1010. 圆锥的底面圆半径，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为_.【答案】11. 已知函数，将向左平移个单位得，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为_. 【答案】12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点.是双曲线上的两个动点，动点满足：，直线与直线斜率之积为.已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值大小为_.【答案】二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.13. 若实数，命题甲“”是命题乙“”的（ B ）条件A充分非必要 B必要非充分 C既充分又必要 D既非充分又非必要14. 已知中，点是边上的动点，点是边上的动点，则的最小值为（ B ）ABCD15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系 （为自然对数的底数，为常数），若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是( C )小时 A B C D 16. 关于的方程恰有3个实数根，则 （ B ）ABCD三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤17. （满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 如图，在长方体中，. （1）求异面直线与所成的角；（2）求三棱锥的体积. 解：（1） 是异面直线与所成的角或其补角.2分在等腰中，易得4分即：异面直线与所成的角1分（2）4分3分18. （满分14分，第1小问7分，第2小问7分）在中，角所对的边分别为，已知：，且；（1）求角；（2）若，且，求的值.解：（1）由，2分由正弦定理得：，2分； 由，2分；1分（2）由，；4分由知，2分.1分19. （满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知等差数列的公差为2，其前项和.（1）求的值及的通项公式;（2）在等比数列中，令，求数列前项和。解：（1）3分， 3分（2），2分当时， 3分当时，是偶数，3分20. （满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆的左、右焦点分别为；设点，在中，周长为.（1）求椭圆方程；（2）设不经过点的直线与椭圆相交于两点。若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.解：（1）由得： ，所以又周长为，所以解方程组，得所以椭圆方程为4分（2）设直线方程：，交点1分 1分 1分依题：即：1分 1分过定点1分（3），1分设直线与椭圆相切，1分得两切线到的距离分别为1分当时，个数为0个当时，个数为1个当时，个数为2个当时，个数为3个当时，个数为4个3分21. （满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数的定义域为，值域为，即.若，则称在D上封闭.（1）试分别判断函数、函数在上是否封闭，并说明理由；（2）函数的定义域为，且存在反函数.若函数在D上封闭，且函数在上也封闭，求的取值范围；（3）已知函数的定义域是，对任意，若，有恒成立，则称在D上是单射.已知函数在D上封闭且单射，并且满足,其中.证明：存在D的真子集，使得在所有上封闭.解：（1）因为函数的定义域为，值域为，（取一个具体例子也可），所以在上不封闭.（结论和理由各1分）在上封闭。（结论和理由各1分）（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，得到：.