不等式的证明一例题解析人教

不等式的证明例题解析一. 本周教学内容： 不等式的证明教学目标 1. 掌握不等式证明的作差比较法和作商比较法。 2. 在熟悉一些常用基本不等式的基础上，掌握不等式证明的综合法； 3. 掌握分析法证明不等式的要求和格式； 4. 通过本节内容的复习，提高同学们的化简意识、变形意识，拓宽解题思路，提高推理论证能力。二. 重点、难点： 1. 教学重点： 理解并掌握不等式证明的三种方法。即：比较法、综合法、分析法。 2. 教学难点： 正确理解三种证明方法的证题思想，准确把握证明步骤和书写格式。【例题分析】（一）比较法：比较法有作差比较法和作商比较法两种。 1. 作差比较法：一般适用于具有多项式结构的题目。 其步骤是：作差变形判断差的符号（与0比较大小）。 2. 作商比较法：一般适用于不等式两边恒为正且具有乘积式幂指数结构的题目。 其步骤是：作商变形判断商与1的大小。 例1. 解析： 这个不等式两边是多项式结构的，因此可采用作差比较法，最后的结果与0比大小。 说明：采用作差法证明不等式，作差后经常采用配方的办法，判断结果与0的大小。 例2. 解析： 此题具有积的结构，且两边恒为正的不等式。因此，采用作商比较法，最后的结果与1比较大小。 证明： 说明：在上述讨论中，要求必须对指数函数的性质清楚。 例3. 解析： 根据已知条件及要证的不等式的结构，既可以用作差比较法也可以用作商比较法。 证法一： 原不等式成立 证法二： 原不等式成立（二）综合法：就是从已知的不等式出发，用必要条件代替前面的不等式，直至推出欲证的不等式。 常用的重要不等式有： 例1. 解析： 要证此不等式，应充分使用已知条件，同时改变要证不等式左边的现状，使之可以运算且大于或等于9。 证明： 例2. 解析： a、b、c为ABC的三边， 可以挖掘出a、b、c均为正数，且ab+c，ba+c，ca+b，在此基础上我们再构造a2、b2、c2。 证法一：在ABC中，a、b、c为三边 ab+c，ba+c，ca+b 证法二：在ABC中，a、b、c为三边 说明：由a、b、c是ABC的三边，挖出a、b、c均为正，且两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来供求证明使用。 例3. 已知：a、b、c是不全相等的正数。 分析： 由于要证的不等式两边均为以10为底的对数，所以逆用对数运算法则，这个不等式应 又以10为底的对数函数是增函数 证明：a、b、c是不全相等的正数 a、b、c是不全相等的正数 式中至少有一个不取“”号 给上式两边同取以10为底的对数 （三）分析法：分析法就是从求证的不等式出发，逐步寻求使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式问题转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能肯定这些充分条件都已具备，那么就可以判定原不等式成立。 分析法的特点：执果索因。 例1. 解析： 分析法有两种书写格式： （1）使用“连接”关键词，如“为了证明”，“只需证明”，“即证”等。 证明： 所证不等式成立 例2. 解析： 这是一个含两个不等号的连不等式，因此得分别证明两个不等号都成立。 证明： 同时，练习一下书写格式。 1. ，求证： 2. 已知：x、y、z是互不相等的正数，且。 求证： 3. 已知：，求证： 4. 且，求证：（要求用三种方法）参考答案 1. 这是一个多项式结构的不等式，显然是用作差比较法。 2. 先把每一个小括号内的两项通分看看，即，再把1换为x+y+z x、y、z均为正数且x+y+z=1 同理， 则可得出要证的不等式： 3.