整式的乘法与因式分解：自制精品PPT课件

精品教学课件：整式的乘法与因式分解,人教版八年级数学上册,1,.,指数,幂,底数,整式的乘法,2,.,（根据）,=（101010）（101010）,8个10,7个10,=101010,15个10,幂的意义,（根据）,乘法结合律,幂的意义：,同底数幂的乘法性质：,aman=am+n(m，n都是正整数）,3,.,同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。,底数不变,指数相加,同底数幂的乘法法则：,(m，n为正整数),?,(m，n，p为正整数),归纳,同底数幂乘法的运算性质：,4,.,aman（m,n都是正整数)等于什么?为什么？,aman,=(aaa)(aaa),m个a,n个a,=am+n,即aman=am+n(m,n都是正整数）.,同底数幂相乘，底数，指数.,不变,相加,5,.,要点导航典例全解反馈演练（第一阶第二阶第三阶）,6,.,8.1幂的运算,基础自主学习,学习目标会直接利用同底数幂的乘法性质计算,解析根据同底数幂的乘法法则计算,不变,相加,7,.,8.1幂的运算,底数相同,8,.,公式：aman=am+n(m、n都是正整数),小结,同底数幂的乘法,法则,注意问题,运用公式时，底数a可以是数、单项式或多项式；,同底数幂相乘，底数不变，指数相加。,三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用；,公式可逆：am+n=aman,“指数相加”时不要忽略指数为1的因数；,9,.,重难互动探究,8.1幂的运算,探究问题一底数互为相反数的幂的乘法,10,.,8.1幂的运算,归纳总结：利用同底数幂的乘法性质运算时，若底数互为相反数，则可通过符号变形将这些底数统一成同一底数，从而再用同底数幂的乘法性质进行计算，常见的变形有：,（1）x-y=-(y-x);（2）当n为奇数时，=-,（3）当n为偶数时，=,11,.,8.1幂的运算,探究问题二会逆用同底数幂的乘法性质计算,反思计算底数互为相反数的幂相乘时应注意些什么？,12,.,13,.,课堂总结反思,8.1幂的运算,不变,相加,14,.,导入新课,问题引入,（边长）2,（103）2,（10的3次幂的2次方）,103103,103+3,106,（103）2,15,.,讲授新课,（1）（a3)2,=a3a3,（4）请同学们猜想并通过以上方法验证：,=amam,（2）（am)2,=amn,（a）mn=,=a3+3,=a6,=am+m,=a2m,(m是正整数),（3）请你观察上述结果的底数与指数有何变化？,自主探究,16,.,幂的乘方法则:,幂的乘方公式：(am)n=amn(m，n都是正整数）,文字语言：幂的乘方，底数，指数.,不变,相乘,归纳总结,amn=(am)n=(an)m(m，n都是正整数）,幂的乘方的逆运算：,(1)x13x7=x（）=()5=()4=()10；,20,x4,x5,x2,(2)a2m=()2=()m（m为正整数）.,am,a2,【规律总结】对于幂的乘方与同底数幂的乘法的混合运算，先算乘方，再算同底数幂的乘法；幂的乘方与加减混合运算时，先乘方，后加减，注意合并同类项,幂的乘方法则的逆用amn(am)n(an)m，即x6(x2)3(x3)2.,幂的乘方的运算性质：,17,.,课堂小结,幂的乘方,法则,（am）n=amn(m,n都是正整数）,注意,幂的乘方，底数不变，指数相乘,幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;aman=am+n,幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m,幂的乘方可以推广：（am）np=amnp,18,.,乘法,乘方,不变,不变,指数相加,指数相乘,19,.,要点导航典例全解反馈演练（第一阶第二阶第三阶）,20,.,要点导航典例全解反馈演练（第一阶第二阶第三阶）,21,.,要点导航典例全解反馈演练（第一阶第二阶第三阶）,22,.,要点导航典例全解反馈演练（第一阶第二阶第三阶）,23,.,要点导航典例全解反馈演练（第一阶第二阶第三阶）,24,.,14.1.3积的乘方,第十四章整式的乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优八年级数学上（RJ）教学课件,25,.,简单地说：,(n为正整数),积的乘方等于各因数乘方的积！,思考：,？,14.1.3积的乘方,运算公式：,26,.,积的乘方法则:,积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘,(ab)n=,anbn,积的乘方,乘方的积,（n是正整数）,你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗?,(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗?即“(a+b)n=anbn”成立吗？又“(a+b)n=an+bn”成立吗？,27,.,3、观察、猜想：(ab)3与a3b3是什么关系呢？,（ab)3=(ab)(ab)(ab)=(aaa)(bbb)=a3b3,思考：积的乘方(ab)n=？,28,.,公式证明：,(ab)n,29,.,语言表述,积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘,拓展当三个或三个以上因式的积乘方时，也具有这一性质例如:(abc)n=anbncn,(ab)n=anbn,积的乘方公式,幂的运算性质的反向应用,anbn=(ab)n,am+n=aman,amn=(am)n,作用：,使运算更加简便快捷！,30,.,解：原式,逆用幂的乘方的运算性质,幂的乘方的运算性质,逆用同底数幂的乘法运算性质,逆用积的乘方的运算性质,例2计算:,31,.,能力提升：如果（anbmb)3=a9b15,求m,n的值.,（an）3（bm）3b3=a9b15,a3nb3mb3=a9b15,a3nb3m+3=a9b15,3n=9,3m+3=15.,n=3,m=4.,解：（anbmb)3=a9b15,【跟踪训练】,计算:1.2(x3)2x3-(3x3)3+(5x)2x7.2.(3xy2)2+(-4xy3)(-xy).3.(-2x3)3(x2)2.,【解析】原式=2x6x3-27x9+25x2x7=2x9-27x9+25x9=0.,【解析】原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4.,【解析】原式=-8x9x4=-8x13.,注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.,32,.,33,.,34,.,计算:1.2(x3)2x3-(3x3)3+(5x)2x7.2.(3xy2)2+(-4xy3)(-xy).3.(-2x3)3(x2)2.,【解析】原式=2x6x3-27x9+25x2x7=2x9-27x9+25x9=0.,【解析】原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4.,【解析】原式=-8x9x4=-8x13.,注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减.,【跟踪训练】,35,.,课堂小结,幂的运算性质,性质,aman=am+n(am)n=amn(ab)n=anbn(m、n都是正整数),反向运用,aman=am+n、(am)n=amnanbn=(ab)n可使某些计算简捷,注意,运用积的乘方法则时要注意：公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）,36,.,14.1.4整式的乘法,第十四章整式的乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优八年级数学上（RJ）教学课件,第1课时单项式与单项式、多项式相乘,37,.,导入新课,复习引入,1.幂的运算性质有哪几条？,同底数幂的乘法法则：aman=am+n(m、n都是正整数).,幂的乘方法则：(am)n=amn(m、n都是正整数).,积的乘方法则：(ab)n=anbn(m、n都是正整数).,2.计算：（1）x2x3x4=;(2)(x3)6=;(3)(-2a4b2)3=;(4)(a2)3a4=；（5）.,x9,x18,-8a12b6,a10,1,38,.,想一想：（1）怎样计算（3105）（5102）？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5bc2,怎样计算这个式子？,（2）ac5bc2=（ab)(c5c2)(乘法交换律、结合律）=abc5+2(同底数幂的乘法）=abc7.,（1）利用乘法交换律和结合律有：,(3105)(5102)=(35)(105102)=15107.,这种书写规范吗？,不规范，应为1.5108.,39,.,单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.,单项式与单项式的乘法法则,40,.,单项式乘以多项式的法则,单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.,41,.,6.计算：2x2(xy+y2)-5x(x2y-xy2).,解：原式=(-2x2)xy+(-2x2)y2+(-5x)x2y+(-5x)(-xy2),=-2x3y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2,=-7x3y+3x2y2.,42,.,课堂小结,整式乘法,单项式单项式,实质上是转化为同底数幂的运算,单项式多项式,实质上是转化为单项式单项式,四点注意,（1）计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负（2）不要出现漏乘现象（3）运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减（4）对于混合运算，注意最后应合并同类项,43,.,14.1整式乘法,第十四章整式的乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优八年级数学上（RJ）教学课件,第2课时多项式与多项式相乘,44,.,多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。,多项式乘以多项式,(a+b)(m+n),=,am,1,2,3,4,+an,+bm,+bn,多乘多顺口溜：,多乘多，来计算，多项式各项都见面，乘后结果要相加，化简、排列才算完.,45,.,解：原式,1.判别下列解法是否正确，若错请说出理由.,46,.,3.计算求值：（4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y)，其中x=1,y=-2.,解:原式=,当x=1,y=-2时，原式=221-71（-2）-14(-2)2,=22+14-56=-20.,47,.,课堂小结,多项式单项式,运算法则,多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加,（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,注意,不要漏乘；正确确定各符号；结果要最简,实质上是转化为单项式多项式的运算,(x-1)2在一般情况下不等于x2-12.,48,.,14.1.4整式的乘法,第十四章整式的乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优八年级数学上（RJ）教学课件,第3课时整式的除法,49,.,4.试猜想：aman=?(m,n都是正整数,且mn),3.观察下面的等式，你能发现什么规律？,（1）2823=25,（2）x10x6=x4,(3)2m+n2n=2m,同底数幂相除，底数不变，指数相减,aman=am-n,=28-3,=x10-6,=2(m+n)-n,验证一：因为am-nan=am-n+n=am,所以aman=am-n.,验证二：,50,.,一般地，我们有aman=am-n(a0,m,n都是正整数，且mn)即同底数幂相除，底数不变，指数相减.,同底数幂的除法,想一想：amam=?(a0),答：amam=1，根据同底数幂的除法则可得amam=a0.,规定,a0=1(a0),这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.,51,.,探究发现,（1）计算：4a2x33ab2=;,（2）计算：12a3b2x33ab2=.,12a3b2x3,4a2x3,解法2：原式=4a2x33ab23ab2=4a2x3.,理解：上面的商式4a2x3的系数4=123；a的指数2=3-1，b的指数0=2-2，而b0=1,x的指数3=3-0.,解法1：12a3b2x33ab2相当于求（）3ab2=12a3b2x3.由（1）可知括号里应填4a2x3.,52,.,单项式相除,把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.,单项式除以单项式的法则,底数不变，指数相减。,保留在商里作为因式。,53,.,例2计算：,（1）28x4y27x3y；,（2）-5a5b3c15a4b.,解：（1）28x4y27x3y=（287）x4-3y2-1=4xy；,（2）-5a5b3c15a4b=(-515)a5-4b3-1c=ab2c.,54,.,问题1如何计算（am+bm)m?,计算（am+bm)m就是相当于求（）m=am+bm,因此不难想到括里应填a+b.,又知amm+bmm=a+b.,即(am+bm)m=amm+bmm,55,.,多项式除以单项式的法则,多项式除以单项式，就是用多项式的除以这个，再把所得的商.,单项式,每一项,相加,关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.,56,.,例3计算(12a3-6a2+3a)3a.,解：(12a3-6a2+3a)3a=12a33a+(-6a2)3a+3a3a=4a2+(-2a)+1=4a2-2a+1.,在计算单项式除以单项式时，要注意什么？,(1)先定商的符号(同号得正,异号得负)；,(2)注意添括号;,57,.,课堂小结,整式的除法,同底数幂的除法,单项式除以单项式,底数不变，指数相减,1.系数相除；2.同底数的幂相除；3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式,多项式除以单项式,转化为单项式除以单项式的问题,58,.,14.2.1平方差公式,第十四章整式的乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优八年级数学上（RJ）教学课件,59,.,导入新课,复习引入,多项式与多项式是如何相乘的？,（x3)(x5）,=x2,5x,3x,15,=x2,8x,15.,(a+b)(m+n),=am,+an,+bm,+bn,60,.,(a+b)(ab)=,a2b2,两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.,公式变形:,1.（ab)(a+b)=a2-b2,2.（b+a)(-b+a)=a2-b2,平方差公式,61,.,课堂小结,平方差公式,内容,注意,两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差,1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2,2.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用,62,.,14.2.2完全平方公式,第十四章整式的乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优八年级数学上（RJ）教学课件,63,.,完全平方公式,也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.,简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”,公式特征：,4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.,1.积为二次三项式；,2.积中两项为两数的平方和；,3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.,64,.,例1运用完全平方公式计算：,(1)(4m+n)2；,(a+b)2=a2+2ab+b2,+2(4m)n,-2y,(a-b)2=a2-2ab+b2,65,.,课堂小结,完全平方公式,法则,注意,(ab)2=a22ab+b2,1.项数、符号、字母及其指数,2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行,常用结论,3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）,a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;4ab=(a+b)2-(a-b)2.,66,.,14.3.1提公因式法,第十四章整式的乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优八年级数学上（RJ）教学课件,67,.,68,.,定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.,x2-1(x+1)(x-1),因式分解,整式乘法,x2-1=(x+1)(x-1),等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积,想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？,是互为相反的变形，即,69,.,多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.,相同因式p,这个多项式有什么特点？,pa+pb+pc,70,.,例找3x26xy的公因式.,系数：最大公约数,3,字母：相同的字母,x,所以公因式是3x,指数：相同字母的最低次幂,1,71,.,正确找出多项式各项公因式的关键是：,1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.,提公因式法,一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.,(a+b+c),pa+pb+pc,p,=,72,.,课堂小结,因式分解,定义,am+bm+mc=m(a+b+c),方法,提公因式法,公式法,确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数,分两步：第一步找公因式；第二步提公因式,（下节课学习）,注意,1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式：要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号,73,.,74,.,75,.,14.3.2公式法,第十四章整式的乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优八年级数学上（RJ）教学课件,第1课时运用平方差公式因式分解,76,.,导入新课,复习引入,1.什么叫多项式的因式分解?,把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.,2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？它们有什么关系？,1.a(x+y)=ax+ay2.ax+ay=a(x+y),整式乘法,因式分解,它们是互为方向相反的变形,77,.,讲授新课,想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？,是a,b两数的平方差的形式。,两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.,平方差公式：,78,.,例1分解因式：,a,a,b,b,a2-b2=,解:(1)原式=,2x,3,2x,2x,3,3,(2)原式,整体思想,a,b,典例精析,79,.,例2分解因式：,一提（公因式）,二套（公式）,三查（多项式的因式分解有没分解到不能再分解为止）；,分解因式的一般步骤,80,.,课堂小结,平方差公式分解因式,公式,a2-b2=(a+b)(a-b),步骤,一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.,81,.,14.3.2公式法,第十四章整式的乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优八年级数学上（RJ）教学课件,第2课时运用完全平方公式因式分解,82,.,讲授新课,你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？,同学们拼出图形为：,83,.,这个大正方形的面积可以怎么求？,（a+b）2,a2+2ab+b2,=,将上面的完全平方公式倒过来看，能得到：,84,.,a2+2ab+b2,a22ab+b2,我们把a+2ab+b和a-2ab+b这样的式子叫做完全平方式.,观察这两个式子：,每个多项式有几项？,中间项和第一项，第三项有什么关系？,每个多项式的第一项和第三项有什么特征？,三项,这两项都是数或式的平方，并且符号相同,是第一项和第三项底数的积的2倍,85,.,完全平方式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的2倍.,完全平方式:,简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.,凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.,86,.,3、a+4ab+4b=()+2()()+()=(),2、m-6m+9=()-2()()+()=(),1、x+4x+4=()+2()()+()=(),x,2,x+2,a,a2b,a+2b,2b,对照a2ab+b=(ab)，你会吗？,m,m-3,3,x,2,m,3,87,.,下列各式是不是完全平方式？（1）a24a+4;（2）1+4a;（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;（5）x2+x+0.25.,是,（2）因为它只有两项；,不是,（3）4b与-1的符号不统一；,不是,分析：,不是,是,（4）因为ab不是a与b的积的2倍.,a2,2,a,b,b2,.,+,.,88,.,典例精析,例1分解因式：（1）16x2+24x+9；,分析：在（1）中，16x2=(4x)2,24x=24x3,9=3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+24x3+(3)2,解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+24x3+(3)2=(4x+3)2；,（2）-x2+4xy-4y2.,(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.,89,.,例2把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2；,解:(1)原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2；,分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；,（2）（a+b)2-12(a+b)+36.,(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.,(2)原式=(a+b)2-2(a+b)6+62=(a+b-6)2.,利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.,90,.,课堂小结,完全平方公式分解因式,公式,a22ab+b2=(ab)2,特点,（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.,91,.,第十四章整式的乘法与因式分解,学练优八年级数学上（RJ）教学课件,复习课,知识网络,专题复习,课堂小结,课堂训练,92,.,幂的运算性质,整式的乘法,整式的除法,互逆运算,乘法公式（平方差、完全平方公式）,特殊形式,相反变形,因式分解（提公因式、公式法）,相反变形,知识网络,93,.,【例1】计算(2a)3(b3)24a3b4.,【解析】幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.,【答案】原式=8a3b64a3b4=2a3-3b6-4=2b2.,专题复习,94,.,【例3】计算：x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)3x2y,其中x=1,y=3.,【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.,【答案】原式=(x3