上海格致中学高三数学开学考试

上海市格致中学2020届高三数学9月开学考试（含解析）一.填空题1.不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】将常数移到左边，通分得到答案.【详解】故答案【点睛】本题考查了分式不等式解法，属于基础题型.2.已知向量，则_【答案】13【解析】【分析】先求出向量（4，3，12），由此能求出|【详解】向量，（4，3，12），|13故答案为：13【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.如果双曲线的焦点在轴上，焦距为8，则实数_【答案】【解析】【分析】先化为标准式，再由焦距为8，列出m方程，即可得到结论【详解】由题意，双曲线的焦点在y轴上，则=1，半焦距为4，则m3m16，m4故答案为：4【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题4.函数，的反函数为，则_【答案】2【解析】【分析】求出原函数的反函数，取x4即可求得f1（4）【详解】由yf（x）x2（x0），得x，则函数f（x）x2（x0）的反函数为yf1（x），f1（4）故答案为：2【点睛】本题考查反函数的求法及函数值的求法，是基础题5.若，则_【答案】0或2【解析】【分析】方程变形为，分为两种情况得到答案.【详解】或当时：当时：故答案为0或2【点睛】本题考查了三角函数运算，意在考查学生的计算能力.6.若复数的实部和虚部相等，且（是虚数单位），则实数的值为_【答案】【解析】分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案详解】由，得zi（a+2i）2+ai，又复数的实部和虚部相等，a2故答案为：2【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题7.已知一组数据，1，0，的方差为10，则_【答案】7或【解析】【分析】依据方差公式列出方程，解出即可。【详解】，1，0，的平均数为，所以 解得或。【点睛】本题主要考查方差公式的应用。8.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋科学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，若这堆货物总价是万元，则的值为_【答案】10【解析】【分析】由题意可得第n层的货物的价格为ann（）n1，根据错位相减法求和即可求出【详解】由题意可得第n层的货物的价格为ann（）n1，设这堆货物总价是Sn1（）0+2（）1+3（）2+n（）n1，由可得Sn1（）1+2（）2+3（）3+n（）n，由可得Sn1+（）1+（）2+（）3+（）n1n（）nn（）n10（10+n）（）n，Sn10010（10+n）（）n，这堆货物总价是万元，n10，故答案为10【点睛】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题9.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由函数在区间上单调递增，得到在每一部分都单调递增，且，即可求出结果.【详解】因为函数在区间上单调递增，所以在每一部分都单调递增，且，即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查分段函数单调的问题，只需满足每一部分单调，并且特别主要结点位置的取值即可，属于常考题型.10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为，且，若，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为_【答案】【解析】【分析】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个数由分步计数原理知共有1010种不同的结果，而满足条件的|ab|2的情况通过列举得到共28种情况，代入公式得到结果【详解】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有1010种不同的结果，则|ab|1的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共28种情况，甲乙出现的结果共有1010100，他们”心有灵犀”的概率为P故答案为：【点睛】本题主要考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题11.若关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得的取值范围。【详解】由 得，两边同除以，得到，设，由函数 在上递减，所以，故实数的取值范围是。【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法分离参数法。12.已知是满足下列性质的一个排列（，），性质：排列有且只有一个（），则满足性质的所有数列的个数_【答案】【解析】【分析】先根据题意得到和之间的关系：，再计算【详解】考虑和之间的关系，为此考虑两种情况下的：第一种为1到符合性质排列，不妨设，此时要么放在末尾要么放在和之间，这一共有 种情况；第二种为1到不符合性质T排列，此时若想插入数使得序列满足性质，则前个数只能递增排列，然后插入，有种情况；故 设易知 故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推公式得到数列的通项公式，找到递推公式是解题的关键，本题还可以计算前面几项，归纳出通项公式，再利用数学归纳法得到答案.二.选择题13.如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选C.【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.14.点到直线（为参数，）的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得【详解】由消去参数t可得3x4y+50，根据点到直线的距离公式可得d故选：D【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题15.若表示两条直线，表示平面，下列说法中正确的为（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】对于选项A，与可能平行，也可能在平面内，故A不正确。对于选项B，与可能平行、相交、垂直，故B不正确。对于选项C，由线面垂直的定义可得必有，故C正确。对于选项D，与可能相交、平行或异面，故D不正确。选C。16.设向量，向量中有4个，其余为，向量中有3个，其余为，则的所有可能取值中最小的值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由分析求解即可【详解】由题，要想数量积之和最小，数量积为0的个数越多越好；中的4个，与中4个分别求数量积，中的3个，与中3个分别求数量积，之和为0，剩余的中的3个，分别与中3个求数量积之和为3故选：B【点睛】本题考数量积运算，考查分析能力，是基础题三.解答题.17.在直三棱柱中，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面的距离.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）或其补角就是异直线与所成角，我们可证为直角三角形且，故可得异面直线所成角的大小.（2）先计算，再利用等积法求到平面的距离，它就是直线到平面的距离.【详解】(1)因为，所以 (或其补角)是异直线与所成角.因为，所以平面，所以.中，所以，所以异面直线与所成角的大小为.(2)因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，设到平面的距离为，因为，可得，直线与平面的距离为.【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.18.在ABC中，a=3，bc=2，cosB=（）求b，c的值；（）求sin（BC）的值【答案】() ；() .【解析】【分析】()由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；()由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.【详解】()由题意可得：，解得：.()由同角三角函数基本关系可得：，结合正弦定理可得：，很明显角C为锐角，故，故.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知抛物线关于轴对称，且经过点.（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点、，抛物线的准线分别交直线、于点和点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.【答案】（1）标准方程为 ，准线方程为；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设抛物线C：x22py，代入点（2，1），解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；（2）抛物线x24y的焦点为F（0，1），设直线方程为ykx1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，B的坐标，可得AB为直径的圆方程，可令x0，解方程，即可得到所求定点【详解】（1）设抛物线C：x22py，经过点（2，1）可得42p，即p2，可得抛物线C的方程为x24y，准线方程为y1；（2）抛物线x24y的焦点为F（0，1），设直线方程为ykx1，联立抛物线方程，可得x2+4kx40，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x24k，x1x24，直线OM的方程为yx，即yx，直线ON的方程为yx，即yx，可得A（，1），B（，1），可得AB的中点的横坐标为2（）22k，即有AB为直径的圆心为（2k， 1），半径为|22，可得圆的方程为（x+2k）2+（y1）24（1+k2），化为x2+4kx+（y1）24，由x0，可得y1或3则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，3）点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题20.若数列、满足 (N*)，则称为数列的“偏差数列”. （1）若为常数列，且为的“偏差数列”，试判断是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且，为数列的“偏差数列”，求的值；（3）设，为数列的“偏差数列”，且，若对任意恒成立，求实数M的最小值.【答案】（1）见解析；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）an不一定为等差数列，如；（2）设数列an的公比为q，解方程可得首项和公比，由等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求值；（3）由累加法可得数列an的通项公式，讨论n为奇数或偶数，求得极限，由不等式恒成立思想可得M的最小值【详解】解：(1) 如，则为常数列，但不是等差数列， (2) 设数列的公比为，则由题意，、均为正整数，因为，所以，解得或，故 或(N*)， 当时， 当时，综上，的值为或；(3) 由且得，=故有：，累加得：=，又，所以 当n为奇数时，单调递增，当n为偶数时，单调递减，从而，所以M，即M的最小值为【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查分类讨论思想方法，化简运算能力，属于难题21.已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类增周期函数，周期为，若恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为.（1）已知函数是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；（2）已知，是上级类周期函数，且是上的单调递增函数，当时，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，.【解析】【分析】（1）由题意f（x+1）2f（x）整理可求得ax1，令x1t（t2），由g（t）t在2，+）上单调递增，即可求得实数a的取值范围；（2）由x0，1）时，f（x）2x，可求得当x1，2）时，f（x）mf（x1）m2x1，当xn，n+1）时，f（x）mn2xn，利用f（x）在0，+）上单调递增，可得m0且mn2nnmn12n（n1），从而可求实数m的取值范围；（3）f（x+T）Tf（x）对一切实数x恒成立，即cosk（x+T）Tcoskx对一切实数恒成立，分当k0时，T1；当k0时，要使cosk（x+T）Tcoskx恒成立，只有T1，于是可得答案【详解】（1）由题意可知：f（x+1）2f（x），即（x+1）2+a（x+1）2（x2+ax）对一切3，+）恒成立，整理得：（x1）ax22x1，x3，ax1，令x1t，则t2，+），g（t）t在2，+）上单调递增，g（t）ming（2）1，a1（2）x0，1）时，f（x）2x，当x1，2）时，f（x）mf（x1）m2x1，当xn，n+1）时，f（x）mf（x1）m2f（x2）mnf（xn）mn2xn，即xn，n+1）时，f（x）mn2xn，nN*，f（x）在0，+）上单调递增，m0且mn2nnmn12n（n1），即m2（3）由已知，有f（x+T）Tf（x）对一切实数